最近「笑っていいとも」が見られません。
起きると14時頃です。
17時からバイト。
数学とか英語とか教えたり。

夜に数学の勉強をしてみた。

問題
正確さが99％の癌の検査がある。世界の実際に癌にかかっている人の割合が0.1％とする。ある人がこの検査を受けたところ陽性であった。この人が癌にかかっている確率は何％か。（自治医大・改題）

さて、正確さ99％の癌の検査で陽性といわれたあなたはどうしますか、という問題。
条件付き確率（数B）を必要とする問題ですが、ここではこんな風に解答してみましょう。

解答
実際は癌じゃなくて、癌じゃないといわれた人の割合は、
全体の99.9％のうちの99％であるから、
0.999×0.99＝98901/100000≒98.9％
同様に、実際は癌じゃないのに癌といわれた人は、0.999×0.01＝999/100000≒1％
癌なのに癌じゃないといわれた人は、0.001×0.01＝1/100000≒0％
癌で癌といわれた人は、0.001×0.99＝99/100000≒0.1％

癌といわれた場合について見てみると、
本当に癌の場合は10万回に対して99回、
逆に癌じゃないのに癌といわれた場合は10万回に対して999回。
つまり、本当に癌の場合は、99/(99+999)≒0.09より、９％。

☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『何がいいたいかって？』
　信頼性99％の検査も当てにならないってことです。

今回の話題は特性方程式について。

a_n+1=pa_n+q
で定義される数列{a_n}の一般項は、
特性方程式α=pα+qの解αを用いて、
a_n+1-α=p(a_n-α)
と置くことによって公比pの等比数列に帰着して解く、
というのが定番です。

さて、この特性方程式はどこから出てきたの？？
というのが今回のテーマ。
学校では、「こうすれば解けるんだから、覚えなさい」といわれるのが関の山。
受験でも書いてはイケナイことになっている。

そうなのだろうか？
僕なりの見解を示してみる。

もともとの漸化式を公比pの等比数列の漸化式のように見るためには、qが邪魔である。
そこで、次の上の式から下の式を引く。

a_n+1=pa_n+q　……（１）
α=pα+q　……（＊）

引き算することで、目的の式である
a_n+1-α=p(a_n-α)　……（２）
が登場する。

「等式から等式を引けば等式になる」という至極当然のことから、
（＊）の式が等式である必要がある。
そこで、（＊）式を等式たらしめるためには、
αが（＊）式の解である必要がある。

つまり、「（＊）が成立するもとで、（１）式は（２）式に変形可能である」ということである。
（＊）を成立させるためには、αが必要であり、具体的な値を求めるのが特性方程式だというわけだ。

昔からの謎だったという方はいらっしゃらないだろうか？

☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『宇多田結婚』
　……若いのに。離婚しないでほしいものです。

私はしないんですが、
最近いろいろとHPを追いかけていると、
ゲームのやりこみをしていらっしゃる方のHPなんかにぶつかって。

そこで、こんなやりこみ（解析）を見つけました。

ダメージ計算式解析。
はじめの5の倍数、は見た感じから判明するが、
次の37の倍数、なんてのは感覚では分かりませんよね。37は素数ですし。

ただし、これはミリカンが油滴の実験において、
電子の電荷（電気素量）を求めるときに思いついた方法と似ているのです。
つまり、最小の差がｘであるから、単位あたりの変化量はｘだろう、という計算。

解析とか見てると、
すごく数学的な研究になりつつあるのが分かると思います。
相手はゲーム、あるいはコンピューター。
一定の計算式に基づいていなければおかしいのですから。

そういう計算式を求めるのもある意味大変なんですが。
かなりの実験データを元に、予測とその裏付けの繰り返し。
考えるだけで大変です。

話は変わりますが、

現行のカリキュラムでは数Ｃに含まれる「試行と検定」といった分野は、
普通科高校ではあまりやらないのではないでしょうか？
なぜなら受験で必要としない高校がとても多いからです。
かくいう私もできません。
ただし、視聴率がどれぐらいの信頼性をもつのかといった軽い話題から、
今後実験や研究などから分かったデータをまとめる際など、
この分野を必要とすることは多々あると思われます。
これから私も勉強しようかと思ってみたり。

おまけ。
ニュースステーション見て思い出した。
ベータ生産終了。

☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『缶バッチ』
昨日から引き続き缶バッチ。今日紹介するHPはこちら。缶バッチを作れるという機械です♪　って、大量生産には向かないので買いませんが。問題は商品の種類。「女の子向け」って書かれてます（涙

なんか、最近生徒がしきりに
「円周率元に戻ったね」って言われたりして、
「それは違うよ」って言ってあげたくなる。
所詮子供たちの認識はその程度だ。

まずあの指導要領は、「最低限教えること」を書いただけで、
別に台形の面積を教えちゃいけないわけじゃないし、
円周率を3にしたわけじゃない。
つまり、先生の裁量によって、もっと教えてもよいのだ。

それに合わせて文部科学省が、先生向けのガイドラインを作った、ということなのである。サイト内のページにリンクですが、これ。

さて、それに伴って、
第3章に「江戸時代の算数にチャレンジしよう」
というものができました。
これは、油分け算という、まぁ中学入試にも出題されず、
パズルの域を抜けない算数です。

本当は、この油分け算についていろいろ書こうかと思ったんだけど、
長くなりそうなので、Izumiの数学か何かで書こうかと思います。
いつかね。

　以下、引用です。
　これは1627年（寛永４年）、つまり江戸時代がはじまってまだ30年もたたないうちに発表された数学書「塵劫記（じんこうき）」という書物に載っている問題です。著者は吉田光由（みつよし）という数学家。
　中国の数学書「算法統宗」などの問題を日本風に直したもので、大衆の教科書として使われており、当時の日常生活に関係ある問題もたくさん入っています。
　同じような問題で「ぶどう酒」を等分する問題がヨーロッパでは16世紀の本に載っているそうです。

☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『明日までに』
　明日までに勉強しなくちゃ！　明日は勉強会です。やばっ。

なんか、すごいカルチャーショックなんですが、

中学3年生で習う展開の公式、
( x + a ) ( x + b ) = x ² + ( a + b ) x + ab
( x + a )² = x² + 2ax + a²
( x + a ) ( x – a ) = x² – a²
なのですが、
これって、暗記するものなんですか？

そりゃあ、ある程度暗記しなくちゃイケナイっていう部分も残しつつ、
展開を頭の中でやればよいのでは？？と思ってしまう今日この頃。
この程度の展開の場合、普通、
1.それぞれの括弧の頭の数字をかけ算する
2.外と外、中と中のかけ算の足し算をする
3.それぞれの括弧の後の数字をかけ算する
の手順で解くのでは？

( x + 3 ) ( x + 2 ) なら、
まずは、x²、つづいて 3x + 2x を頭で暗算して 5x 、最後は 3×2 = 6。
って計算しません？？

逆に公式にとらわれすぎる生徒がいるんですが、
だれも、 ( x + 4 ) ²を、x²かいて、2かけるxかける4して、4²して……
……って計算していない気がするんですが。

私だけ特殊ですか？
正しい教え方は、やっぱり「公式丸暗記」なのか？？
まぁ数学嫌いの子供には、公式暗記しろ、っていいますけど。

☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『めちゃイケ』
　前から期待していた、W杯スペシャルの後編……だったのですが、がっくし。いろいろトラブルがあって結局こういうオチみたいなんですが、なんかFM三軒茶屋の方々が可哀想な気が……。いろいろ背景が読みとれて、フジさんに文句をいうワケにもいかないあたりが。

今日はネタもないので読み物風に。夏の夜長にどうぞ。（？）

まずは参照リンク。

これは、まぁ昔からの難問である素数判別の話です。ある数が素数であるかどうかを調べる、というもの──あるいは逆をいえば、素数を次々にいっていくことができる公式の作成──その類の研究は、それこそ紀元前から始まっていたといっても過言ではないのです。

このサイトを見ている方で、素数を知らない方はまずいないだろうから、その辺は割愛させていただきましょう。素数なんか知らないという方は、こちらをどうぞ。

例えば、99703は素数かどうか？　答えは、179×557なので素数ではない。こういう素数判別については、人間はともかく、あの計算をスイスイこなすコンピューターでも苦手な分野なのです。

コンピューターは地道な計算をすることしかできないのです。99073を2で割って、3で割って、5で割って……とひたすら割り算をしていって、割れるか割れないかを確かめる、コンピューターではその程度しかできないのです。

先ほど例に挙げた数ならまだコンピューターでも1秒以下で計算できる事でしょう。しかし、たとえば、162259276829213363391578010288127^*注ではどうでしょう？　こんなの割り算していたら日が暮れます。大きい数になってしまえば、コンピューターでも本当に日が暮れるのです。

素数かどうか。これを利用したのが、暗号などといった、セキュリティシステムに利用されているのです。簡単にいってしまえば、つまり計算機を使っても100年かかる計算をさせるセキュリティで守っていれば、銀行口座のお金は生きてる間は大丈夫だ、ということです（ナニカチガウ）。

ただし、これには問題があります。コンピューターとアルゴリズムの発展。今回発表された素数判定技術……どのようなシステムなのかしらないですが、長年の問題だった事を考えれば、数学屋の目から見ても凄い事だと思います。といっても、私はその研究の論文を読んだわけでもないので、実際にどのようなアルゴリズムなのか知る由もないのですが。その辺はまた勉強したいと思います。

*注：実はこれはメルセンヌが素数について予想した「メルセンヌ数」の中で、メルセンヌが見逃した数です。上の値は、2¹⁰⁷-1のはず。

☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『素数の話題』
　その1。素数は無数にあるか。これは紀元前から知られていて答えは「無数にある」。そしてその証明はとても鮮やかなのです。証明はまたいつか。

　その2。この前小学生の時に親に買ってもらった「算数大事典」みたいなのをみていたら、正5角形の作図方法が書いてあった。これには深い意味があってですね。定規とコンパスで作図できる正素数角形は、フェルマー数という数、3・5・17・257・65537の5つの正多角形のみということをガウスが1796年に発見しています。それを示唆するような算数大事典恐るべし。フェルマー数ってのは、フェルマーが「これは素数を次々に作る公式だ！」と予測して間違っていた悲しい式で、F_n=2²ⁿ+1。これはｎが0～4の時のみ素数なのです。ちなみに正17角形の作図については、高校で複素数か何かを学ぶとできるはずです。そのフェルマー数は、F_n乗根を求められるってことなんです。だから作図もできるという。ムズカシイ話はこれぐらい。参照リンク

夜にニュースサイトをちらほら見ていたら、
こんな情報がありました。
今年の数学オリンピックでの日本チームの成績は、
16位だったそうです。

去年は13位。93年に次ぐ低成績。
トップは中国、そのほかベトナム、韓国、台湾、インドもベストテン入り。

まぁ今年だけを見て物を言うのもナンなのですが、
やはり日本の学力は低迷している気がします。
中国や韓国ではもっと勉強に対してキビシイ姿勢が取られていて、
日本は日本で、ゆとり教育とかいってて。
いや、別にゆとり教育ははよいと思うんですが、
もっと高いところに目標を置いたゆとり教育というものをしてもらいたい……
ただ休みを増やす事がはたしてゆとり教育か。

塾に行くのは別に悪い事じゃないと思う。
イヤイヤ行くのは良いとは思わないけどね。

直リンでゴメン！　問題はこちら

☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『暑中見舞い』
　8月に入ったら書こうと思っていて、昨日忘れてたので。暑中見舞い申し上げます。暑い日々が続きますが、負けずにがんばりまっしょい。

前期試験でした。
試験を受けた方、お疲れさま。

阪大の入試を解いてみた（一部）。
今年も難易度の大きな変動はなし。
ちょっと頭をひねって、基本的な知識でいけます。
複素数列が解けなかったんですけどね（笑）。

◆力学追試勉強・達成度
■□□□□□□□□□（ 10／100）

うちのサイトもリンクしていただいている「青空学園数学科」に、別解を考える大切さというページが出来ました。

さてさて、私もたびたび思います、別解はとっても大事です。
一つとっても綺麗な解法があるとする。
しかし、思いつくには難しすぎる解法の場合もよくある。
そんなとき、地道に解いていって解く方法はないか、考えるべきだろう。
逆もある。問題集に付いている解答の解法が、綺麗な解法でない場合だってある。
そんなときは、自力で新たな解法を見つけるべきでしょう。

自力で新しい解法を見つけることによって、勉強が進むものです。

数学を勉強中のみなさん、ひとまず問題が解けるようになってきたら、
今度は別解を見つける楽しみを覚えていきましょう。

というなんとなく真面目な話でした。

でも、大学で学ぶ数学って、別解あるのかな。（っていうかあるだろうけど）

東京出版さんの雑誌、大学への数学には、「日日の演習」（編集部ではどうやら「ニチニチの演習」と読むらしい）というコーナーがある。
その号のテーマの問題を解くコーナー。
そして、その問題を実際に解く高校（or浪人）生がいる。いわゆる「モニター」。

そして、今月号を見ていたら、
モニターのことを「ヒビモニ。」と略しているモニターの方がいた。

……大学への数学と言えば、読者の接点のコーナーで
・Gファン
・田中麗奈（がんばっていきまっしょい／～しナイト　etc.）
・モーニング娘。（後藤真希の彼氏希望　etc.）
・持田香織（持田香織の彼氏希望（これは特定人物か！？））
などというイメージが沸いてくる私にとって、
『ついに、本誌内部まで進出したモーニング娘。か！？』と思わざるをえなかったのでした。

ってなんのことか分からんね。
すまん。