今回の話題は特性方程式について。

a_n+1=pa_n+q
で定義される数列{a_n}の一般項は、
特性方程式α=pα+qの解αを用いて、
a_n+1-α=p(a_n-α)
と置くことによって公比pの等比数列に帰着して解く、
というのが定番です。

さて、この特性方程式はどこから出てきたの？？
というのが今回のテーマ。
学校では、「こうすれば解けるんだから、覚えなさい」といわれるのが関の山。
受験でも書いてはイケナイことになっている。

そうなのだろうか？
僕なりの見解を示してみる。

もともとの漸化式を公比pの等比数列の漸化式のように見るためには、qが邪魔である。
そこで、次の上の式から下の式を引く。

a_n+1=pa_n+q　……（１）
α=pα+q　……（＊）

引き算することで、目的の式である
a_n+1-α=p(a_n-α)　……（２）
が登場する。

「等式から等式を引けば等式になる」という至極当然のことから、
（＊）の式が等式である必要がある。
そこで、（＊）式を等式たらしめるためには、
αが（＊）式の解である必要がある。

つまり、「（＊）が成立するもとで、（１）式は（２）式に変形可能である」ということである。
（＊）を成立させるためには、αが必要であり、具体的な値を求めるのが特性方程式だというわけだ。

昔からの謎だったという方はいらっしゃらないだろうか？

☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『宇多田結婚』
　……若いのに。離婚しないでほしいものです。