3月までやっていた「デート」の第9話で、
「『どのような数字も各桁の2乗の和を足す』と、必ず1か89になる」という話がありました。

以下ではこれを証明しようと思います。
証明と言っても、この記事ではなんとなく理解できればいいことを優先して、
数学的な精密さを犠牲にします。

また、便宜上『　』内の作業を「操作」と呼ぶことにします。

＜前提＞
まず、89というのは、この先も
　　8² + 9² = 145
のように計算を続けることができますが、このあとこれを繰り返すと、
　　89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89
のように、再び89が出てくるサイクルに入ります。なので、89を最終形の一つといっているのでしょう。ここに出てくる他の7種類の数字も89系列の最終形です。
　もう一つは、1です。これは明らかに次の数字を得ることができませんので、名実ともに最終形です。

＜方針＞
ここでの証明方法の方針を先に示します。

すべての数字を、89以下の数（グループA）と、90以上の数（グループB）に分けます。
このとき、
①90以上の数字（グループB）はすべて89以下の数字（グループA）になることを示し、
②そのあと、グループAの数字すべてが、89か1になることを示す
という手順で示します。

＜STEP1＞
では、グループBの数がすべてグループAに変わることを順に証明しましょう。

＜STEP1-1＞
まずは、「4桁以上の数字に対してこの操作を何度か行えば、必ず3桁以下の数字になる」ことを示しましょう。

n桁の数のうち、操作後に最も大きくなる数字は、9…9と9が並ぶ数字のときです。
9がn個並ぶn桁の数に対して操作を行うと、その結果は81nとなるので、
そのほかのどのようなn桁の数に操作をしても、81n以下になることが分かります。

これにより、4桁の数字に対しては3桁以下に、5桁以上の数に対しても確実に桁数が下がるので、この操作を行うことで、最終的には3桁以下になることが分かる。

これにより、1000以上の数について考える必要はなくなります。

＜STEP1-2＞
次に「243以上の3桁の数は、この操作により必ず243以下になる」ことを示しましょう。

これは＜STEP1-1＞と同様に考えれば簡単で、
3桁の整数で、操作後の数が最も大きくなるのは999だが、
999であっても操作後の数字はたかだか243であるため、
いかなる3桁の数字であっても、操作後の数字は243以下である。

これにより、244以上の数字も考える必要はないことが分かる。

＜STEP1-3＞
次に、「200～243の数字にこの操作をすると、2桁の数字になる」ことを確認します。
200～243の間にある、操作後に最も大きくなる数は239であるが、この数に操作をしても、
239→4+9+81=94
と、たかだか94である。よって、200～243のどの数字にこの操作をしても、2桁の数にしかなりえないことが分かる。
（2桁の数はあとで考えるので、これらの数字については調査を終えます。）

＜STEP1-4＞
残りは90から199の間の数字ですが、先に3桁の数を片付けましょう。
100から199の数のうち、ほとんどは操作後2桁になるので、
「100から199の数のうち、1回の操作後も3桁になる数が、何度か操作すれば2桁になる」ことを示しましょう。

ここは、一つ一つ確認します。すると、

199, 198, 197, 196, 195, 194,
188, 187, 186

の9つの数が、操作後も3桁となることが分かります。
（これ以外の数字は、操作をすると2桁になりますので、これらは後で確認する。）

さて、これらの数字については、最後まで計算する必要はありません。
確かにこれらの数字は操作後に3桁になりますが、
ここに示した9個以外の3桁以外の数字になるのであれば、
その次の操作で2桁になるので、考える必要はありません。

そして、すべての数字がここに示した9個以外の3桁の整数になることは、以下のように示すことができます。

この中で最も大きい数字になるのは、
199→163であるが、これは、上に示したどの数字よりも小さい。
よって、すべてを計算するまでもなく、上の3桁の数字はいずれも163以下の数字に変わる。
163以下の数字は、次に行われる操作で2桁になる。

＜STEP1-5＞
ここまで、「2桁の数になるから、あとで考える」といったところがありました。
そのうち、2桁の数になった時に89以下になっているとすれば、それはグループBになるということですので、
もう＜STEP1＞での証明は終了です。

最後に90から99の間の数について、
これらが何回かの操作で89以下になる、すなわちグループBになるということが証明できれば、
＜STEP1＞の証明は終了です。

これは、一つずつ示します。手を動かします。

90→81
91→82
92→85
93→90（→上の90を参照）
94→97（→下の97を参照）
95→106→37
96→117→51
97→130→10
98→145→42
99→162→41

以上より、＜STEP1＞の目標で当った
「90以上の数はすべて一度は89以下になる」ことを示すことができました。

とても長くなったので、2回に分けます。
つづきはこちら。

昨日の夜やっていた「音編」という番組がとても良かった。
決められた曲を、どれだけアレンジしたものに変えられるか、ということを競う、という番組で、
いろんなジャンルのアレンジが出てきて、どれもとてもよかった。

最終的に優勝していたんだけど、ハイパーヨーヨというラップユニットがアレンジした「おどるポンポコリン」は、
曲だけでなく、歌詞やリズム、内容までが本当に素晴らしいアレンジで、感動を覚えるほどだった。
あのアレンジを残しておけないのが残念。

僕にとってアレンジとは、一つの曲が何倍にも楽しめるものになる、魔法のようなものなんだけれど、
そもそも、アレンジしがいのある名曲を作ってくれる作曲者あってのこと。
なので、すばらしいアレンジをする編曲者にはもちろん、
原曲を作ってくださった作曲家の方にも最大限の敬意を捧げたい。

あー、音楽って楽しいな！！

超、久々にアニメ系の話。
大学生の頃よく聞いていた浅野真澄さん、鷲崎健さんのラジオ番組が、
今日最終回ということで、超久々にラジオを聞いた。

このお二人の番組は、思えばインターネットラジオ全盛期に、
文化放送のインターネット限定のラジオからスタートして、
その後、文化放送の土曜九時、アニメ系の総合バラエティ番組に昇格し、そして10年。

大学生だった自分ももう30を超え、いろいろを経て今もこうやって生きているのいうのは、
なかなか不思議な感じがします。

変わらない面白さっていうのもありますよね。
ずっと聞いてはいなかったけど、やっぱり最終回を聞いて昔を思い出すし、

本当に長い間お疲れ様でした。

月九のデート、なかなか面白いですね。
理系からすると、あれをリケジョとか、理系だと思われると心外だし、そこはあまり見ていて楽しくないけど、
ストーリー展開がコミカルで面白いので、ついつい見てしまいます。

面白いドラマが少ない今日この頃、やっぱり脚本は大事やなあ。

ふと「NMBとまなぶくん」を見ていたら、宇宙についての特集をしていた。
「地球の存在は奇跡に近い」という魅力的なテーマを、分かりやすく説明していて、
しかも中学生の定期試験に出そうな内容もたくさん触れられていて、これは勉強になる内容だなと思った。

木星がなければ隕石が今の1,000倍ぐらい落ちてきている、だとか、
月がなければ地球の自転の回転が乱れていた、などは、僕もあまり知らなかった知識なので、
改めて宇宙や天体についてしっかり勉強しなくちゃなあと思わされました。

1月3日の夜にやっていた、「博学」というクイズ番組が面白かった。
内容は、誰もが知っているような内容でも、教科書に載っているようなものでもない。
そのテーマに関する理解や、様々な知識を総動員して、回答にたどり着けるか、というところが問われる。

番組で紹介されていた問題を一例にとると、
フランスの化粧品メーカーでは、日本人のモニターを必ず採用するという。その理由は、日本人の肌質を確かめたいという理由の他に、日本には肌質に関するあるものがあるからだという。
そのあるものとは、という問題。

この問題を解くには、化粧品メーカーが気にすることとは、ということの他にフランスの文化や日本の特色に詳しくないと解くことができない。

ちなみに答えは、肌質に関する語彙の豊富さ。
もちもち、ぷるぷる、しっとり、すべすべなど、フランスにはない言葉が化粧品メーカーには重宝されるのだという。

途中で出演者も言っていたが、
こういう問題は、回答の過程で他人の思考回路や、頭の中に何が入っているのかが見え隠れするので、とても面白く感じる。

いやー、久々に面白いクイズ番組だったなあ。

こないだやってた「マルモのおきて」のスペシャルを見た。
子供たちも大きくなって、それぞれに夢や学校生活があって、成長を感じさせた。
そんな中マルモだけは変わっていない……ように見えるけど、
実はいろいろ考えて、頑張って生きているからこそ胸を打つ。

最近なかなか見られない感じのありきたりなホームドラマだけど、
ものすごく質の良い、よくできたドラマだったと思う。
あと1回ぐらい、スペシャルドラマ、しないのかな。

1日遅れで高校生クイズを見た。
今年は理系的な問題はなかったので、普通のクイズ番組として見られる感じのものでした。

甲子園もそうなんだけど、
高校生クイズを見ると、青春っていいなあ、と思ってしまう。
と同時に、いかに自分が歳をとったかを感じてしまうので、
そろそろ見るのをやめないと。

久々にテレビドラマの話。

HERO、面白いですね。
続編は失敗するという定説を打ち破った貴重な作品です。

カメラワークや音楽を同じにしたり、世界観もあえて新しくしなかったところがいい。
もちろん脚本がいいのもあると思うけど。
いい意味で古臭く、だけど新しいファンも獲得できる、絶妙なバランスが心地よいです。

そういえば昔のHEROって、ちょうど受験生のころで、ちゃんと見たことないんだよなあ。
第1期のHEROも見たくなっちゃった！

花咲舞のドラマを見終わった。だいぶ遅いけど。
銀行に限らず、どこの会社でも、理不尽な上司や慣習、意味のわからない理屈がはびこっていて、
それがおかしいと思っていても、おかしいということができない、ということは多い。
自分の状況を見ても、
昔はそんなことないと思っていたんだけど、今の仕事環境を考えるとそんなことばっかりだしね。

だからこそ、たくさんの人の共感を得ることができたわけで。

楽しいことが少ない毎日、
勧善懲悪のストーリーは、見てすっきりできるからいいね。