いや、もうバカにしてますね、年金未払い問題。法律違反ということになるはずなんですけどね。官僚があれなら、国民も信頼せぇへんって。
今日はソフトボール大会の予定でしたが、中止になりました。天気はよかったんだけどね、なんでだろう？
というわけで一日寝て過ごしていました。極限まで消費カロリーを押さえて過ごしていました。ご飯作るの面倒くさいもんね（汗
だけど、寒かった分体力の消耗が早いです。ってか本当に今日は寒かった。なんだこりゃ。明日から一気に10度ぐらい上がるみたいで、嬉しい限りですが。
トリビアの泉で、「9のかけ算はかけ算の答えの位ごとを足していくと必ず9になる」というトリビアがありました。これの証明をしたいと思います。
ちなみに番組では、言い換えた性質として「各位の和が9なら、元の数が9の倍数」つまり、倍数判定に使えると言っていましたが、これらの命題は同値ではないはずです。つまり、別々に証明が必要だと思うのですが。
ちなみに、「9のかけ算はかけ算の答えの位ごとを足していくと必ず9になる」というのは、例えば、
9×4=36 → 3+6=9
9×929039=8361351 → 8+3+6+1+3+5+1=27 → 2+7=9
といったようなことを指しています。
命題「9×Nの各位の和をとり続けると、9になる」の証明（かなり簡略化しています。ツッコミなどは掲示板かメールで。）
■ステップ１
まずは、「どのようなn桁の数Nであっても、9×Nの各位の和を取ると、やはり9の倍数になっている」ことを示す。9×Nの1の位をa0、10の位をa1のように、10nの位をanと置くことにすると（ただし、最大の桁であるn桁目は0でないとする、つまりan≠0）、
9×N=a0+10a1+…+10nan
となる。ここで、mod.9において、9×N≡0、10k≡1が成り立つから、
0≡a0+a1+…+an
つまり、
a0+a1+…+an=9N’
と置くことができる。ここで、先ほどと同様に9×N’の10nの位をbnとおけば、やはり、
9×N’=b0+10b1+…+10nbn
0≡b0+b1+…+bn
より、
b0+b1+…+bn=9N”
とできる。これを繰り返すことで、どのようなNであっても、9×Nの各位の和はやはり9の倍数で、エンドレスに繰り返すことができることが分かった。■ステップ２
次に、「各位の和を取ると、元の数より小さい数になる」ことを示そう。そうすれば、いつかは9に収束するはずである。
N≠1（実はN=2も満たさないことが分かるので、本当はN≧3）の場合に、
9×N=a0+10a1+…+10nan,a0+a1+…+an≡0
に対して、
a0+10a1+…+10nan ＞ a0+a1+…+an
であることを示そう。akは0から9のいずれかなので、右辺は高々9(n+1)でしかない。つまり、
a0+10a1+…+10nan ＞ 9(n+1)
を示せばよい。n≧2のときは明らか（ではないが、ここでは明らかにしておく）なので、n=1のときのみ吟味すればよい（n=0はつまりN=1のときだから除外）。
n=1のとき、示すべき不等式は、
10p+q>18、p+q≡0(mod.9)、0＜p≦9,0≦q≦9
と書き直せる。p>2においては明らか。p=1のときはq=8だから、18>18、これは不等式を満たさないので別物だとしておく。つまり、27以上の数においては、全ての9の倍数において、答えを和に直すと、元の数より小さい数（ただしそれでも9の倍数になる）ということが言えた。
これを帰納的に利用すると、どのような27以上の9の倍数でも、27未満の9の倍数、つまり、9か18になることが言える。■ステップ３
9になった場合は、すでに9なのだから証明終了。18になった場合は、さらに分けて1+8=9だからこれも証明終了。これらより、どのようなNに対しても、9×Nの各位の和をとり続けると、結局は9になることが示された。