これまで長い間、合同式から発展して初等整数論を第1章に含めようと思っていたのですが、死ぬほど長くなりそう＆やっぱり第1章にはしては難しすぎるという理由から独立化を検討。ということで、一気に第1章完成が間近になりました。
　残すところは、「相加相乗の様々な証明」「集合、論理」「論証問題」「自然数の定義」「章末問題とその解答」の5つ。　
　──ああ、でもやっぱり今月いっぱいはかかりそう。

　イズミの数学の打ち込み。6時間くらいずっと打ち込み＆勉強。ようやく指数まで終わり、次はオイラーの関数です。他にもいくつかのテーマが残っているけど、12月中に終わらせられそう。

　イズミの数学は、中国剰余定理から、ウィルソンの定理へ移動。次はフェルマーの小定理です。証明を打ち込むのがめんどくさい。
　そもそも初等整数論はそれだけで1つの科目として成り立つぐらい量があるのに、それを1つの章に詰め込もうとするあたりが問題なのかも。
　とりあえず解析や線形代数的な知識がいらない範囲だけまとめて、先に進もうと思います。

　今日は久々にイズミの数学TeX版を作ってました。今は数Cの行列と線形代数らへんを勉強しています。
　数Cの範囲は簡単すぎるのですが、打ち込むのが非常に面倒くさいです。行列の積の説明とか、掃き出し法の説明だとか。もう、ひたすら打ち込み。

　勉強らしいことをしたといえば、ジョルダン標準形についてちょっと勉強。あとはn乗計算の手法をまとめてました。いろいろあるのね、n乗計算の方法って。

　とにかく、高校生ぐらいでも分かるように書くことを目標にしているので、かなり説明の仕方と順序に気を配ります。
　行列の階数（rank）の話とかベクトル空間の話だとか、自分では完全に理解しているけど、それをどのように説明すれば理解して、それを使って問題が解けるようになるかなど、かなり試行錯誤です。さらに行列は打つのが面倒なので気が遠くなりそうです。

　あとは、台風接近で買い物に。雨の中夕飯買いに行きたくない～と思って買い込んできたのに、夕方になって無性に甘いミルクティが飲みたくなって、クリープを買いに行ってしまいました。それだけのために。
　まだ雨が降ってなかったのでよかったのですが……と思ってたら、降り出したのかなり夜になってからだったし。
　夜中は大雨＆暴風。窓ががたがたいってました。3時ごろには止んでるし。

　一日ぐうたらしていた一日でした。

　いや、もうバカにしてますね、年金未払い問題。法律違反ということになるはずなんですけどね。官僚があれなら、国民も信頼せぇへんって。

　今日はソフトボール大会の予定でしたが、中止になりました。天気はよかったんだけどね、なんでだろう？

　というわけで一日寝て過ごしていました。極限まで消費カロリーを押さえて過ごしていました。ご飯作るの面倒くさいもんね（汗
　だけど、寒かった分体力の消耗が早いです。ってか本当に今日は寒かった。なんだこりゃ。明日から一気に10度ぐらい上がるみたいで、嬉しい限りですが。

　トリビアの泉で、「9のかけ算はかけ算の答えの位ごとを足していくと必ず9になる」というトリビアがありました。これの証明をしたいと思います。
　ちなみに番組では、言い換えた性質として「各位の和が9なら、元の数が9の倍数」つまり、倍数判定に使えると言っていましたが、これらの命題は同値ではないはずです。つまり、別々に証明が必要だと思うのですが。
　ちなみに、「9のかけ算はかけ算の答えの位ごとを足していくと必ず9になる」というのは、例えば、
　　9×4=36 → 3+6=9
　　9×929039=8361351 → 8+3+6+1+3+5+1=27 → 2+7=9
といったようなことを指しています。

命題「9×Nの各位の和をとり続けると、9になる」の証明（かなり簡略化しています。ツッコミなどは掲示板かメールで。）

■ステップ１
　まずは、「どのようなn桁の数Nであっても、9×Nの各位の和を取ると、やはり9の倍数になっている」ことを示す。

　9×Nの1の位をa₀、10の位をa₁のように、10ⁿの位をa_nと置くことにすると（ただし、最大の桁であるn桁目は0でないとする、つまりa_n≠0）、
　　9×N=a₀+10a₁+…+10ⁿa_n
となる。ここで、mod.9において、9×N≡0、10^k≡1が成り立つから、
　　0≡a₀+a₁+…+a_n
つまり、
　　a₀+a₁+…+a_n=9N’
と置くことができる。ここで、先ほどと同様に9×N’の10ⁿの位をb_nとおけば、やはり、
　　9×N’=b₀+10b₁+…+10ⁿb_n
　　0≡b₀+b₁+…+b_n
より、
　　b₀+b₁+…+b_n=9N”
とできる。これを繰り返すことで、どのようなNであっても、9×Nの各位の和はやはり9の倍数で、エンドレスに繰り返すことができることが分かった。

■ステップ２
　次に、「各位の和を取ると、元の数より小さい数になる」ことを示そう。そうすれば、いつかは9に収束するはずである。
　N≠1（実はN=2も満たさないことが分かるので、本当はN≧3）の場合に、
　　9×N=a₀+10a₁+…+10ⁿa_n,a₀+a₁+…+a_n≡0
に対して、
　　a₀+10a₁+…+10ⁿa_n ＞ a₀+a₁+…+a_n
であることを示そう。a_kは0から9のいずれかなので、右辺は高々9(n+1)でしかない。つまり、
　　a₀+10a₁+…+10ⁿa_n ＞ 9(n+1)
を示せばよい。n≧2のときは明らか（ではないが、ここでは明らかにしておく）なので、n=1のときのみ吟味すればよい（n=0はつまりN=1のときだから除外）。
　n=1のとき、示すべき不等式は、
　　10p+q>18、p+q≡0(mod.9)、0＜p≦9,0≦q≦9
と書き直せる。p>2においては明らか。p=1のときはq=8だから、18>18、これは不等式を満たさないので別物だとしておく。

　つまり、27以上の数においては、全ての9の倍数において、答えを和に直すと、元の数より小さい数（ただしそれでも9の倍数になる）ということが言えた。
　これを帰納的に利用すると、どのような27以上の9の倍数でも、27未満の9の倍数、つまり、9か18になることが言える。

■ステップ３
　9になった場合は、すでに9なのだから証明終了。18になった場合は、さらに分けて1+8=9だからこれも証明終了。

　これらより、どのようなNに対しても、9×Nの各位の和をとり続けると、結局は9になることが示された。

　最近はひたすらイズミの数学やってます。TeX打ち込み。肩が痛くなるぐらい打ち込み。春休みって何にでも打ち込めるからいいよね。

　こういう休みって大事だと思う。大人になって社会人になると、長い休みがなくて、そのまま年を取ってしまうけど、こうやって長い休みに飽きるほど自分の趣味に打ち込んでみるといいと思う。

　起きたのが14時過ぎだったのは秘密ですが、一日中パソコンをいじっていました。「イズミの数学」をガシガシ書いています。午後はカルダノの公式から代数学の基本定理あたり。ただ、代数学の基本定理を第1章で証明するのは無茶と判断したり。
　ずっとパソコンの前に座っていたら、腰が痛くなってきた。若くして腰痛持ち。カッコ悪！

　そんなことをしてるから、さっぱりネットの世界にご無沙汰です。

　夕方からはバイト。もう辞める身なので、最後に何を教えようか結構吟味してしまう。難しいなぁ。

　夜中もラジオを聞きながらパソコンでTeX打ち。ようやく恒等式や相加相乗までこぎ着けた。今月中に第1章（数と式と証明・複素数）は書き上げられそうだ。
　ちなみに第1章はA5で150ページぐらいになりそうです。
　順次アップしていくので、感想とか意見とか寄せてくださいね。最終的には同人誌印刷所とかで自費出版しますよ？（謎

　いやな同人誌だ。

　もうぐったり。すごいまったりした一日。でも充実。ずっと二人でべったりしてたらなんか幸せで一杯になってしまった。なんてノロケてみたり。

　夜は大学入試の問題をチェックしたりして。どこの予備校も東大の問題は速やかにアップされるんですよね、とりあえず目を通してみたり。
　最近は、超難問は出ないですね、後期には難問を期待してみたり。

　とりあえず興味持った問題をピックアップしていきます。

　あと、なんか分からないですが、阪大がちょっと難しそう。

■今日はのんびりと
　今日は授業がなかったので、一日家にいても怒られません。寒い日はぐだぐだ過ごすのが一番だね。

　昨日夜中まで起きていたせいか、今日は目覚めたのが12時。もう昼なのですが、外が暗い。っていうか雨降ってました。なんかとてつもなく寒そうです。

■イズミの数学

　午後は一日ずっとパソコンと向かって作業。いつもはパソコンを付けてもぼーっとしてたりすることが多いのですが、昨日今日とパソコンと向き合いっぱなしです。
　というのも、先日から『イズミの数学2004』が始動しているからなんですね。今年も私立大入試が始まり、その中から面白そうな問題をピックアップするわけですが……今年は例年と違って、ちゃんと解答も公開しているんですよ、それも大手予備校より早いぐらいの勢いで。
　問題を解くのにはそれほど時間がかかるわけではないのですが、それをHP上にアップしたり、その問題を取り上げた理由──大抵は、問題に面白い背景がなければ取り上げません──を書いて、あれば類題やその問題の背景を解説するという作業までやっていると、とてつもなく時間がかかります。
　今日取り上げた立命館大学の問題なんかは、数式が多すぎて普通にHTML言語では書けないので、わざわざTeXで打ち込み、それを画像にして公開です。もう時間がかかりすぎです。
　ちなみに、今年はちょこっとだけ中学入試も取り上げてみた。もう一日何時間パソコンの前に座っていれば作業は終わるのでしょう？

■さて、バイト

　そうこうしていたらもう夜じゃないですか。
　夕方、バイト先から電話がかかってきました。風邪でお休みの先生の代講を頼まれて引き受けてしまいました。
　時間になって家を出たら、めちゃくちゃ寒い！！　もう、断ればよかったと思ってしまうほどです。なんとまぁ。でもまぁ生徒が高校生だったのでいつもよりは楽しく授業。中学生の問題とか結構疲れるもんね。

■折り紙は数学だ
　今日のニュースステーションで、折り紙についての特集をしていました。折り紙でバラの花を作る人とかが紹介されていたんですが、もう唖然でした。
　ところで、折り紙っていうのは、もはや数学、特に幾何学の分野として認められているんですよね。ブルーバックスから、折る紙の数学という本が出ていたり、その他折り紙から学ぶことはたくさんあるらしいです。
　それにしても、あのバラは凄かった。どうやって折るんだろう？

　1982年11月27日生まれの管理人です。というわけで、今年も誕生日を迎えて、21歳になってしまいました。友人からクイズを出されたので、記念にここでも紹介しておきましょう。

イズミが生まれた1982年11月27日にちなんで、変則小町算を出題。1982=1127。この式を四則演算や小数、分数、括弧を使って正しい式にして下さい。例えば、「-1+9-8+2=11-2-7」というふうに。数字の順番は変えてはダメ。

　ということで問題を頂きました。
　私も1時間ぐらいでいくつか考えてみたので、ここに掲載しておきます。ちなみに、指数とルートの許可ももらったので、次のようになります。

・1+9+8+2=11+2+7
・1+9-8-2=(1-1)×2×7
・1^9+8+2=1+1+2+7
●1^9÷(8+2)=1÷(1+2+7)
○198÷2=11×(2+7)
◎(1-√9)^8÷2=1+127=11^2+7=1×1×2^7
・1×9+√8-√2=1+1+√2+7

　ちなみに、ルートを用いない場合、絶対値が最大で等しくなるのは○（99で等号成立）、絶対値が最小で等しくなるのは●（1/10で等号成立）。ルートを用いれば、◎が最大（128で等号成立）となりました。
　皆さんにも挑戦していただきたいのは、如何に絶対値を大きく、もしくは小さくするか、だと思います。これ以上大きくするのはかなり難しい気がします。ファイト。

　夜はバイト先の人が主催したおでんパーティ。ってかこれが僕の誕生日をお祝いするためのパーティではないというところがミソ。誰も気付いていないという（笑
　鶏肉がむちゃくちゃ美味しくなってました。本当に美味しかった！

　という感じで誕生日は結構いい感じで過ぎていきました。やったね。