2018年センター数学IA 第2問[2]

2018年センター数学IA
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(1)、(2)は省略
(3)　n を自然数とする。実数値のデータ x₁ , x₂ , … , x_n および w₁ , w₂ , … , w_n に対して、それぞれの平均値を

$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} , \quad \overline{w} = \frac{w_1+w_2+\cdots + w_n}{n}$

とおく。等式 ( x₁ + x₂ + … + x_n ) w = n xw などに注意すると、偏差の積の和は
　( x₁ – x ) ( w₁ – w ) + ( x₂ – x ) ( w₂ – w ) + … + ( x_n – x ) ( w_n – w )
　= x₁ w₁ + x₂ w₂ + … + x_n w_n – 　ソ　
となることがわかる。　ソ　に当てはまるものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。

　⓪　xw　　①　( xw )²　　②　nxw　　③　n²xw

解答

ソ

　与えられた式を展開すると、

$\begin{align*} &x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_n w_n \\ &- \overline{w} ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n) - \overline{x} ( w_1 + w_2 + \cdots + w_n) + n \overlien{x} \overline{w} \end{align*}$

となり、ここで、

$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = n \overline{x} ,\quad w_1 + w_2 + \cdots + w_n = n\overline{w}$

であるから、先程の式は、

$\begin{align*} &x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_n w_n - \overline{w} \cdot n \overline{x} - \overline{x} \cdot n \overline{w} + n\overlien{x} \overline{w} \\ &=x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_n w_n - n\overlien{x} \overline{w} \end{align*}$

となる。よって答えは②である。