2018年 センター数学IA 第2問[2]

2018年 センター数学IA
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(1)、(2)は省略
(3) n を自然数とする。実数値のデータ x1 , x2 , … , xn および w1 , w2 , … , wn に対して、それぞれの平均値を

\[ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} , \quad \overline{w} = \frac{w_1+w_2+\cdots + w_n}{n} \]

とおく。等式 ( x1 + x2 + … + xn ) w = n xw などに注意すると、偏差の積の和は
 ( x1x ) ( w1w ) + ( x2x ) ( w2w ) + … + ( xnx ) ( wnw )
 = x1 w1 + x2 w2 + … + xn wn ソ 
となることがわかる。 ソ  に当てはまるものを、次の⓪~③のうちから一つ選べ。

 ⓪ xw  ① ( xw )2  ② nxw  ③ n2xw

解答

 与えられた式を展開すると、

\begin{align*} &x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_n w_n \\ &- \overline{w} ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n) - \overline{x} ( w_1 + w_2 + \cdots + w_n) + n \overlien{x} \overline{w} \end{align*}

となり、ここで、

\[ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = n \overline{x} ,\quad w_1 + w_2 + \cdots + w_n = n\overline{w} \]

であるから、先程の式は、

\begin{align*} &x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_n w_n - \overline{w} \cdot n \overline{x} - \overline{x} \cdot n \overline{w} + n\overlien{x} \overline{w} \\ &=x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_n w_n - n\overlien{x} \overline{w} \end{align*}

となる。よって答えはである。

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