大学入試数学演習

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数列の和に関する性質[2006 東京大・理(後)]

数列の和の性質に関する難問です。
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ユークリッドの互除法[2018 首都大学東京・理・数理科]

 以下の問いに答えなさい。<br /> (1) 正の整数 p , q , f および整数 r が次の関係をみたしているとする。<br />  p = fq + r<br /> ただし、 0 ≦ r &lt; q とする。このとき整数 d が p と q の公約数であることと、 d が q と r の公約数であることは同値であることを示しなさい。<br /> (2) 正の整数 k , m の最大公約数を gcd ( k , m ) で表す。 p , q を p &gt; q をみたす正の整数とする。また n ≧ 2 とし、2n - 1 個の正の整数 f<sub>1</sub> , f<sub>2</sub> , … , f<sub>n-1</sub> , r<sub>1</sub> , r<sub>2</sub> , … , r<sub>n</sub> が次の関係をみたしているとする。<br />   p = r<sub>1</sub><br />   q = r<sub>2</sub><br />   r<sub>1</sub> = f<sub>1</sub> r<sub>2</sub> + r<sub>3</sub>, ( r<sub>3</sub> &gt; r<sub>2</sub> )<br />   r<sub>2</sub> = f<sub>2</sub> r<sub>3</sub> + r<sub>4</sub>, ( r<sub>4</sub> &gt; r<sub>3</sub> )<br />     ︙<br />   r<sub>n-2</sub> = f<sub>n-2</sub> r<sub>n-1</sub> + r<sub>n</sub>, ( r<sub>n</sub> &gt; r<sub>n-1</sub> )<br />   r<sub>n-1</sub> = f<sub>n-1</sub> r<sub>n</sub><br />  このとき、 gcd ( p , q ) = gcd ( r<sub>j</sub> , r<sub>j+1</sub> ) ( j = 1 , 2 , … , n - 1 ) が成り立つことを j に関する数学的帰納法で示しなさい。<br /> (3)  p と q を互いに素な正の整数とする。このとき、 ap + bq = 1 を満たす整数 a , b が存在することを示しなさい。
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対数螺旋の性質[2000 神戸大・理(後)]

 a &gt; 0 を定数として、座標平面上で次の式 x ( t ) = e<sup>at</sup> cos t , y ( t ) = e<sup>at</sup> sin t (-∞ &lt; t &lt; ∞) で定まる曲線を C<sub>a</sub> とする。次の問いに答えよ。<br /> (1) 位置ベクトル ( x ( t ) , y ( t ) ) と速度ベクトル ( x ' ( t ) , y ' ( t ) ) のなす角 θ は時刻 t によらず一定であることを示し、 θ と a の関係を求めよ。<br /> (2) θ = π/3 となる a に対し、曲線 C<sub>a</sub> の 0 ≦ t ≦ 2π に対応する部分の長さを求めよ。
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等確率でないサイコロ [1979 京都大・文理]

問題  2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり、大きい目を出したほうを勝ちとすることにした。ただし、このサイコロは必ずしも正しいものではなく、 k の目の出る確率は pk である( k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...
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2015Cmが偶数になる最小のm [2015 東京大・理]

m を 2015 以下の正の整数とする。 2015Cmが偶数となる最小の m を求めよ。
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等面四面体 [2014 早稲田大・教育]

四面体ABCDは、4つの面のどれも3辺の長さが 7 , 8 , 9 の三角形である。この四面体のABCDの体積は <span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span> である。
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単調有界な数列の極限 [2016 九州大・理(後)]

 正の実数 a , b に対して $ A(a,b) = \dfrac{a+b}{2},G(a,b) = \sqrt{ab}$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) min ( a , b ) ≦ G ( a , b ) ≦ A (...
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鳩の巣原理 [2016 神戸大・理(後)]

m を 2 ≦ m ≦ 9 をみたす自然数とする。 xy 平面上の点のうち、 x 座標と y 座標がともに整数のものを格子点という。 x 座標と y 座標がともに -1 , 0 , 1 のいずれかである 9 個の格子点を考える。これらの格子点から異なる m 個の格子点を選ぶ。選ばれた m 個の格子点のうち、どの異なる2点の中点も格子点とならないような m 個の格子点を選ぶ選び方の総数を a<sub>m</sub> とおく。 a<sub>m</sub> ( 2 ≦ m ≦ 9 )を求めよ。
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複素数平面と鋭角三角形 [2016 東京大・理]

問題  z を複素数とする。複素数平面上の3点 A ( 1 ) , B ( z ) , C ( z2 ) が鋭角三角形をなすような z の範囲を求め、図示せよ。 イズミの解答への道  複素数平面で問題は与えられているが、三角関...
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有理数・無理数の稠密性 [2016 大阪大・専門数学]

 次の問いに答えよ。 (1) r , s を$ r \dfrac{1}{\beta - \alpha}$を満たすような十分大きい自然数 N をとる。このとき、   $N(\beta -\alpha) >1$ すなわち   ...
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