「 大学入試数学演習 」一覧

ユークリッドの互除法[2018 首都大学東京・理・数理科]

ユークリッドの互除法[2018 首都大学東京・理・数理科]

 以下の問いに答えなさい。
(1) 正の整数 p , q , f および整数 r が次の関係をみたしているとする。
 p = fq + r
ただし、 0 ≦ r < q とする。このとき整数 d が p と q の公約数であることと、 d が q と r の公約数であることは同値であることを示しなさい。
(2) 正の整数 k , m の最大公約数を gcd ( k , m ) で表す。 p , q を p > q をみたす正の整数とする。また n ≧ 2 とし、2n - 1 個の正の整数 f1 , f2 , … , fn-1 , r1 , r2 , … , rn が次の関係をみたしているとする。
  p = r1
  q = r2
  r1 = f1 r2 + r3, ( r3 > r2 )
  r2 = f2 r3 + r4, ( r4 > r3 )
    ︙
  rn-2 = fn-2 rn-1 + rn, ( rn > rn-1 )
  rn-1 = fn-1 rn
 このとき、 gcd ( p , q ) = gcd ( rj , rj+1 ) ( j = 1 , 2 , … , n - 1 ) が成り立つことを j に関する数学的帰納法で示しなさい。
(3)  p と q を互いに素な正の整数とする。このとき、 ap + bq = 1 を満たす整数 a , b が存在することを示しなさい。

対数螺旋の性質[2000 神戸大・理(後)]

対数螺旋の性質[2000 神戸大・理(後)]

 a > 0 を定数として、座標平面上で次の式 x ( t ) = eat cos t , y ( t ) = eat sin t (-∞ < t < ∞) で定まる曲線を Ca とする。次の問いに答えよ。
(1) 位置ベクトル ( x ( t ) , y ( t ) ) と速度ベクトル ( x ' ( t ) , y ' ( t ) ) のなす角 θ は時刻 t によらず一定であることを示し、 θ と a の関係を求めよ。
(2) θ = π/3 となる a に対し、曲線 Ca の 0 ≦ t ≦ 2π に対応する部分の長さを求めよ。

鳩の巣原理 [2016 神戸大・理(後)]

鳩の巣原理 [2016 神戸大・理(後)]

m を 2 ≦ m ≦ 9 をみたす自然数とする。 xy 平面上の点のうち、 x 座標と y 座標がともに整数のものを格子点という。 x 座標と y 座標がともに -1 , 0 , 1 のいずれかである 9 個の格子点を考える。これらの格子点から異なる m 個の格子点を選ぶ。選ばれた m 個の格子点のうち、どの異なる2点の中点も格子点とならないような m 個の格子点を選ぶ選び方の総数を am とおく。 am ( 2 ≦ m ≦ 9 )を求めよ。