単調有界な数列の極限 [2016 九州大・理(後)]

 正の実数 a , b に対して A(a,b) = \dfrac{a+b}{2},G(a,b) = \sqrt{ab} とする。以下の問いに答えよ。
(1) min ( a , b ) ≦ G ( a , b ) ≦ A ( a , b ) ≦ max ( a , b ) が成り立つことを示せ。
 ただし、 min (a , b )は a , b のうちの最小の数を表し、 max ( a , b ) は a, b のうちの最大の数を表す( a = b の場合は a , b のうちのどちらかの数を表すとする)。
(2) a > b , a0 = a , b0 = b として、以下の数列を定義する。

\[ a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} , b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} , c_{n+1} = \frac{a_n - b_n}{2} , n = 0 ,1,2,\cdots \]

このとき数列 { an } と数列 { bn } は同じ極限値(αとする)に収束することを示せ。
(3) an+2 を an と bn を用いて表せ。ただし { an } と { bn } は(2)で定義した数列とする。
(4) cn+2 と cn+1 の間に以下の関係が成り立つことを示せ。ただし、 { cn } とαはそれぞれ(2)で定義した数列と極限値とする。

\[ c_{n+2} < \left( \frac{1}{2\sqrt{\alpha}} c_{n+1} \right)^2 \]

[2016 九州大・理(後)]

イズミの解答への道

解答

(1) a ≦ b としても一般性を失わない。

\begin{align*} &\text{max} ( a , b ) - A ( a , b ) = b - \dfrac{a+b}{2} = \frac{b-a}{2} \geqq 0 \\ &A (a , b ) = G  (a,b) = \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geqq 0 \\ &G(a,b) - \text{min}(a,b) = \sqrt{ab} - a = \sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a} ) \geqq 0 \end{align*}

であるから、題意は示された。(なお、等号成立はすべての不等号について a = b のとき。)

(2) まず、

(a) \[ b \leqq b_n < b_{n+1} < a_{n+1} < a_n \leqq a \]

であることを数学的帰納法で示す。

 n = 0 のとき、 a_0 = a , b_0 = b , a_1 = \dfrac{a+b}{2} , b_1 = \sqrt{ab} であり、いまa > bであるから、明らかに、

\[ b < \frac{a+b}{2} , \sqrt{ab} < a \]

であり、(1)の結果から\dfrac{a+b}{2} < \sqrt{ab}であるから、

\[ b \leqq b < \frac{a+b}{2} < \sqrt{ab} <a \leqq a \]

が成り立つ。すなわち(a)が成り立つことが示される。

 つぎに、n = k のときに(a)が成立すると仮定すると、

\[ b \leqq b_k < b_{k+1} < a_{k+1} < a_k \leqq a \]

であり、 n = k + 1 のときを考えると、

\begin{align*} a_{k+2} &= \frac{a_{k+1} + b_{k+1}}{2}  < a_{k+1} \\ b_{k+2} &= \sqrt{a_{k+1} b_{k+1}} > b_{k+1} \end{align*}

である。また、n = k の仮定より、 b ≦ bk+1 , ak+1 ≦ a だから、

\[ b \leqq b_{k+1} < b_{k+2} , \quad a_{k+2} < a_{k+1} \leqq a \]

となる。最後に(1)の結果より、b_{k+2} < a_{k+2}であるから、

\[ b \leqq b_{k+1} < b_{k+2} < a_{k+2} < a_{k+1} \leqq a \]

となる。以上より n = k + 1 のときにも(a)が成立。

 以上より、(a)は0以上のすべての整数 n について成立することが示された。

 さて、このことより、

  • 数列 { an } は減少数列で下に有界であるから収束し、極限値 A をもつ。
  • 数列 { bn } は増加数列で上に有界であるから収束し、極限値 B をもつ。
 このとき、与えられた漸化式

\[ a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} , b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \]

であるから、極限を取ると、

\[ A = \frac{A+B}{2} , B = \sqrt{AB} \]

であるから、これを解くと、A = B となる。よって { an } と { bn } は同じ極限値 α に収束するといえる。

(3)

\begin{align*} a_{n+2} &= \frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2} = \frac{\dfrac{a_n+b_n}{2} + \sqrt{a_n b_n}}{2} \\ &= \frac{a_n + b_n +2\sqrt{a_n b_n}}{4} = \bm{\frac{1}{4}(\sqrt{a_n} + \sqrt{b_n})^2} \end{align*}

(4) (3)と同様に、

\[ c_{n+2} = \frac{1}{4} (\sqrt{a_n} - \sqrt{b_n})^2 \]

であるから、(3)の結果と辺辺かけると、

\[ a_{n+2}c_{n+2} = \frac{1}{16}(a_n - b_n)^2 \]

すなわち

\[ c_{n+2} = \frac{1}{4a_{n+2}} c_{n+1}^2 \]

となる。
 よって、

\[ \frac{1}{2\sqrt{a_{n+2}}} < \frac{1}{2\sqrt{\alpha}} \]

であれば問題の不等式を満たすことが示せるが、この式はすべての整数 i に対して a_i > \alpha であることより成立する。
 以上より問題の式が成立することが示された。

解説

上界を持つ単調増加数列は収束する

 まずは言葉の説明からしておきましょう。上界とは、「増え続けても、これ以上大きい数字にはならない、という限界の数」のことです。高校では学びませんが、イメージつきやすい数字です。
 さて、直感的に「増え続ける数列が収束するなんてことあるの?」と思う方もいるかもしれませんが、これ以上は増えてはいけない、という壁があり、しかしその壁に向かって徐々に進んでいかなければならないので、行き場がどんどんなくなっていき、それが結局収束につながる、というのがざっくりとした説明でしょうか。
 1つ例を上げてみましょう。初項 \dfrac{1}{2} 、公比 \dfrac{1}{2} の等比数列の和 S を考えてみましょう。

\[ S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots \]

 この和 S は、ある面積1の正方形の半分、次はその残りの半分、さらにその残りの半分、をどんどん足していくことをイメージします。半分ずつ足していくので確実にもとの面積 1 を超えることはありません(この1に近づいては行きそうですが)。このとき、 1 は上限を意味します。
 ところで、極限のところで学んだ通り、数列の公比が 1 より小さいので、この和 S は収束します。

 「上界を持つ単調増加数列の収束」の1つの例として、高校ではこれをベースに考えればよいでしょう。このことが、等比数列でなくとも成り立つ、ということです。どんどん”追いつめられていく”感じがつかめたでしょうか。

実は証明できない!

 「感覚はわかったけど、数学なんだから証明を書いてよ」とおっしゃる方もいるかもしれません。しかし、このことを証明することはできません。実はこの事実は「実数の連続性の公理」となっており、公理である以上証明することはできません。しかしそのことを高校の教科書では説明していません。詳しくは大学の解析学のテキストで勉強してみてください。

しかし高校数学でこのことを用いている

 そもそも高校で証明できないし、「有界な単調増加数列が収束する」という話も聞いたことがないぞ、というかたがほとんどでしょう。
 しかし、実は数学IIIの教科書には、このことが必ず載っているはずなのです。それは、自然対数 e を定義するところです。みなさん、お手元の数学IIIの教科書を引っ張ってきてみてください。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする