四面体の外心 [2011 京都大・理]

問題

 空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点 A , B , C , D を同時に通る球面が存在することを示せ。

イズミの解答への道

 四面体にも内心、外心が存在します。今回は外心の存在を示します。

解答

 各頂点を通る球の中心を P とする。
 辺ABの中点を通り、ABに垂直な平面αを考える。αは、点A、点Bから等距離である。
 次に、△ABCの外心を通り△ABCに垂直な直線 l とすると、 l は、 A , B , C から等距離にあるので、平面α上にある。
 同様に、△ABDの外心を通り△ABDに垂直な直線を m とすると、 l は、 A , B , D から等距離にあるので、平面α上にある。
 △ABCと△ABDは平行ではないので、 l , m は平行ではない。よって l , m は平面α上の一点で交わる。この交点を P とすると、点Pは A , B , C , D から等距離にある。点Pを中心とし、PAを半径とする球を考えると、この球面は各頂点を通る。

解説

内心を求める

四面体にまつわる出題

 四面体にまつわる出題は多い。いろいろなパターンに対応できるよう、練習しておきましょう。

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