tan1°は有理数か [2006 京都大・共通(後)]

問題

 tan 1°は有理数か。

イズミの解答への道

 今年一番の短い問題? おそらく無理数なのですが、それを示すにはどうすればよいか、悩む問題です。

解答

 背理法で証明する。tan 1°が有理数であると仮定すると、

\[ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theat}{1 - \tan^2 \theta} \]

を繰り返し用いて、tan 2°、tan 4°、tan 8°、tan 16°、tan 32°、tan 64°は有理数である。

これより、

\[ \tan 60^{\circ} = \tan (64^{\circ} - 4^{\circ}) = \frac{\tan 64^{\circ} - \tan 4^{\circ}}{1 + \tan 64^{\circ} \tan 4^{\circ}} \]

も有理数ということになるが、 \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}は無理数であるから矛盾。

よって背理法により、 tan 1°は無理数であることが示された。

解説

■別解

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