約数の個数と和 [2016 慶應大・理工]

 2016の正の約数は全部で   個あり、それらの平均は   である。

[2016 慶應大・理工]

イズミの解答への道

 約数の個数と和に関する基本問題です。これは基礎テク!ですから、解法を覚えておきましょう。

解答

 2016を素因数分解すると、
  2016 = 25×32×7
であるから、約数の個数は
  ( 5 + 1 )×( 2 + 1 )×( 1 + 1 ) = 6×3×2=36個
であり、その和は
  ( 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 ) × ( 1 + 3 + 32 ) × ( 1 + 7 ) = 63 × 13 × 8
となるので、その平均は、
  \dfrac{63 \times 13 \times 8}{36} = \bm{182}
である。

解説

約数の個数と和

 自然数 N が
  N = paqb…rc
と因数分解できるとする。このとき、すべての約数は、
  pa’qb’…rc’
の形で表され、a’ , b’ , … , c’ はそれぞれ
  a’ = 0 , 1 , … , a のいずれか
  b’ = 0 , 1 , … , b のいずれか
  c’ = 0 , 1 , … , c のいずれか
の場合が考えられる。存在する約数はこれらのすべての場合の数であるから、
  ( a + 1 ) ( b + 1 ) … ( c + 1 )個
である。
 次に和について考える。和についてはトリッキーな“うまい方法”がある。突然だが、
  ( 1 + p + … + pa ) ( 1 + q + … + qb ) … ( 1 + r + … + rc )
という式を展開すると、最も小さい約数である 1 から、最も大きい約数(自分自身)までのすべての約数が現れる。これにより、約数の和は上の式で求められることが分かる。

【約数の個数と和】
 自然数 N が N = paqb…rc と因数分解できるとき、約数の個数は、
  ( a + 1 ) ( b + 1 ) … ( c + 1 )個
であり、その約数の総和は、
  ( 1 + p + … + pa ) ( 1 + q + … + qb ) … ( 1 + r + … + rc )
となる。

例題

 基礎的な問題なので毎年どこかの大学では出題されている。

 2000 の正の約数の個数と、約数の和を求めよ。ただし、1 と2000 も約数であるとする。

[2000 滋賀医大]

【解答】
 2000 = 24・53 であるから、約数の個数は、
  ( 4 + 1 )・( 3 + 1 ) = 20個
であり、その和は
  ( 1 + 2 + 22 + 23 + 24 )・( 1 + 5 + 52 + 53 )
  = 31×156 = 4836

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