微分可能の定義に関する証明 [2007 順天堂大・医]

 次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。
(1) 関数 f ( x ) が x = a で微分可能とはどういうことか、説明せよ。
(2) 「関数 y = f ( x ) が x = a で微分可能である」と「関数 y = f ( x ) が x = a で連続である」とはどのような関係にあるか述べよ。またそれを証明せよ。
(3) ある区間 a < x < b で微分可能な関数 f ( x ) , g ( x ) について、導関数の定義から、関数の積 f ( x ) g ( x ) の導関数を求めよ。

[2007 順天堂大・医]

イズミの解答への道

 流行の「定理の証明」です。(1)や(3)はこれまでに他大学において出題されていますが、(2)は目新しい内容です。数学IIIの勉強は、どうしても計算が中心になってしまいがちですが、連続と微分可能性の関係は微積分の重要ポイントですから、是非覚えておきましょう。

解答

(1) 関数 f ( x ) が x = a で微分可能であるとは、極限値 \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} が存在することである。

(2) 関数 y = f ( x ) について、『「 x = a で微分可能である」ならば「 x = a で連続である」(※)』は成立するが、逆(『「 x = a で連続である」ならば「 x = a で微分可能である」(※※)』)は成り立たない。

(※)の証明
 f ( x ) が x = a で微分可能であれば、

\begin{align*} \lim_{x \to a} \{ f(x) - f(a) \} &= \lim_{x \to a} \left\{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times (x-a) \right\} \\ &= f'(a) \cdot 0 = 0 \end{align*}

より、

\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

となり、 x = a で連続であることが示される。

(※※)の証明
 反例として f ( x ) = | x | とすると、 x = 0 では連続だが微分可能ではない。実際、

\begin{align*} &\lim_{x \to -0} \frac{f(x) - f(0)}{x- 0} = \lim_{x \to -0} \frac{-x-0}{x-0} = -1 \\ &\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x- 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x-0}{x-0} = 1 \end{align*}

となることから、 f ( x ) は x = 0 で(連続だが)微分可能ではない。

(3)

\begin{align*} &\{ f(x)g(x) \}' \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &=\lim_{h \to 0} \left( \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) \end{align*}

であり、ここで f ( x ) , g ( x ) は微分可能だったから、

\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x) , \quad \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) \]

であり、 h → 0 のとき
  g ( x + h ) → g ( x )
となるから、
  { f ( x ) g ( x ) }’ = f ‘ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ‘ ( x )
が成り立つ。

解説

類題1

 2002年の神戸大・理に同様の出題がある。それを紹介しておこう。

 関数 f ( x ) は任意の実数 x に対して定義されているとする。次の問に答えよ。
(1) f ( x ) が x = a において微分可能であることの定義を述べよ。
(2) 次の2つの命題のうち正しい物を選び、それが正しい理由を示せ。
 (i) f ( x ) が x = a において連続ならば、必ず、 f ( x ) は x = a において微分可能である。
 (ii) f ( x ) が x = a において連続であっても、 f ( x ) は x = a において微分可能であるとは限らない。
(3) 関数 f ( x ) = cos x が x = a において微分可能であることを、(1)で答えた定義を用いて証明せよ。

[2002 神戸大・理]

【解答】
 (1)、(2)は上と同様である。特に、(2)は(ii)が正解であり、理由としては上の反例を上げれば良い。(3)のみ解答を紹介しておこう。
(3) 和積の公式

\[ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \]

を用いることで、

\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{\cos ( a + h) - \cos a}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin \left( a + \frac{h}{2} \right) \sin \frac{h}{2}}{h} \\ &= - \lim_{h \to 0} \sin \left( a + \frac{h}{2} \right) \cdot \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \\ &= - \sin a \end{align*}

より、 f ( x ) = cos x は x = a において微分可能である。

類題2

 2015年の神戸大・理(後)でも再び微分可能性に関する出題がある。

 以下の問に答えよ。
(1) 関数 f ( x ) が x = a で微分可能であることの定義を述べよ。
(2) 関数 f ( x ) = | x2 – 1 | e-x は x = 1 で微分可能でないことを示せ。
(3) 関数 f ( x ) = | x2 – 1 | e-x の極値と、極値をとるときの x の値を求めよ。

[2015 神戸大・理(後)]

【解答】
 (1)は上の出題と全く同じである。

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