解と係数の関係｜高校数学で一番使うテクニック

解と係数の関係を学ぶ前に

　はじめに例題から見てみよう。

2次方程式 x² – 5x + 3 = 0 の2つの解の和はいくつか。また積はいくつか。

解答？

　中学生でも解けそうな問題です。やってみましょう。2つの解を、 $\alpha , \beta$ とおくと、

$\begin{align*} \alpha &= \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 - \sqrt{13}}{2} \\ \beta &= \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \end{align*}$

となるので、和は、

$\frac{5 - \sqrt{13}}{2} + \frac{5 + \sqrt{13}}{2} = \bm{5}$

であり、積は、

$\frac{5 - \sqrt{13}}{2} \times \frac{5 + \sqrt{13}}{2} = \frac{1}{4} ( 5-\sqrt{13})(5 + \sqrt{13} ) = \frac{1}{4} (25 -13) = \bm{3}$

となる。

　ちょっと面倒くさいですが、難しいところはないようです。しかし、今回のテーマである「解と係数の関係」という必殺技を使うと、この問題をいともかんたんに解くことができるのです。その必殺技を学んでいきましょう。

解と係数の関係

　さっそく、教科書にある「解と係数の関係」を見てみましょう。

【解と係数の関係】
2次方程式 ax² + bx + c = 0 の解を $\alpha,\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} , \alpha \beta = \frac{c}{a}$

である。

　教科書には上のように書いてありますが、これだけでは「だから？」となってしまって、どこがポイントなのかわかりづらいですね。

　ここで言っていることは、「2次方程式の2つの解について、その“和”と“積”であれば、2次方程式を解かなくても、もと2次方程式（の係数）を見ればすぐ分かるよ！」ということなのです。

　そのような見方をして、上の例題を「解と係数の関係」を使って解いてみよう。

2次方程式 x² – 5x + 3 = 0 の2つの解の和はいくつか。また積はいくつか。

解答

　和は係数 a と b を使います。分子が1次の係数 b 、分母が2次の係数 a 、そしてマイナスを付けます。
　　x² – 5x + 3 = 0
の下線部。いま、2次の係数 a = 1 であるから割ることは考えなくて良いので、
　　和 = – (1次の係数) = – (-5) = 5
となります。
　積は係数 a と定数項 c を使います。分子が定数項 c 、分母が2次の係数 a 。先ほどと違ってマイナスは不要です。定数項は、
　　x² – 5x + 3 = 0
の下線部。同じく2次の係数 a = 1 だから、
　　積 = (定数項) = 3
となります。

　冒頭では解の公式を使って解を求め、ルートが入った計算をして求めましたが、解と係数の関係を使うと簡単に求めることができました。これが解と係数の関係を使うメリットです。

ちょっと練習してみよう

　例題で少し練習してみよう。

次の2次方程式の2つの解を α , β とするとき、和 α + β と積 αβ を求めよ。
(1)　x² – 6x + 5 = 0　　(2)　x² – 2x – 4 = 0
(3)　3x² – 5x – 9 = 0　　(4)　2x² + 9x + 1 = 0

解答

それぞれ、解と係数の関係より、

(1)　 $\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{-6}{1} = \bm{6}, \quad \alpha \beta = \frac{5}{1} = \bm{5}$

(2)　 $\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{-2}{1} = \bm{2}, \quad \alpha \beta = \frac{-4}{1} = \bm{-4}$

(3)　 $\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{-5}{3} = \bm{\frac{5}{3}}, \quad \alpha \beta = \frac{-9}{3} = \bm{3}$

(4)　 $\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{9}{2} = \bm{-\frac{9}{2}}, \quad \alpha \beta = \frac{1}{2} = \bm{\frac{1}{2}}$

　学生の方なら、手持ちの参考書に必ず問題が載っているはずなので、同じ問題を探して問いてみて欲しい。

解と係数の関係は対称式と相性がいい

　実は解と係数の関係の問題は、次のような問題で出ることが多い。上の例題でみたような、和 α + β や積 αβ を求めるだけでは簡単すぎるのである。

2次方程式 x² – 5x + 3 = 0 の解を α , β とするとき、次の値を求めよ。
(1)　α + β　　(2)　α² + β²
(3)　α³ + β³　　(4)　1α + 1β

　この問題を解くコツは、対称式の扱いにある。解と係数の関係では、和 α + β や積 αβ の値しか求めることはできないので、与えられたα² + β² のような式を、なんとか α + β や αβ で表すことを考えなければならない。これも高校数学必須の技法で「対称式」と呼ばれるものであり、次のページで先に学んでおいてもらいたい。

対称式｜巧みな式変形を

対称式という言葉を知っている人はほとんどいませんが、この考え方を知らないままでは受験に立ち向かうことはできません。高校一年生の間に絶対に自分のものにしておきたいテクニックを、わかりやすく紹介。

解答

まずは、解と係数の関係より、
　　α + β = 5 , αβ = 3
である。

(1)　α + β = 5
(2)　α² + β²
　　　= ( α + β )² – 2αβ
　　　= 25 – 6 = 19
(3)　α³ + β³
　　　= ( α + β )³ – 3αβ ( α + β )
　　　= 125 – 3・3・5 = 80
(4)　1α + 1β
　　　= α + βαβ = 53