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対数螺旋の性質[2000 神戸大・理(後)]

対数螺旋の性質[2000 神戸大・理(後)]

 a > 0 を定数として、座標平面上で次の式 x ( t ) = eat cos t , y ( t ) = eat sin t (-∞ < t < ∞) で定まる曲線を Ca とする。次の問いに答えよ。
(1) 位置ベクトル ( x ( t ) , y ( t ) ) と速度ベクトル ( x ' ( t ) , y ' ( t ) ) のなす角 θ は時刻 t によらず一定であることを示し、 θ と a の関係を求めよ。
(2) θ = π/3 となる a に対し、曲線 Ca の 0 ≦ t ≦ 2π に対応する部分の長さを求めよ。