整数・証明・計算問題

数学I・IIにまたがる分野です。

大学入試数学演習

ユークリッドの互除法[2018 首都大学東京・理・数理科]

 以下の問いに答えなさい。<br /> (1) 正の整数 p , q , f および整数 r が次の関係をみたしているとする。<br />  p = fq + r<br /> ただし、 0 ≦ r &lt; q とする。このとき整数 d が p と q の公約数であることと、 d が q と r の公約数であることは同値であることを示しなさい。<br /> (2) 正の整数 k , m の最大公約数を gcd ( k , m ) で表す。 p , q を p &gt; q をみたす正の整数とする。また n ≧ 2 とし、2n - 1 個の正の整数 f<sub>1</sub> , f<sub>2</sub> , … , f<sub>n-1</sub> , r<sub>1</sub> , r<sub>2</sub> , … , r<sub>n</sub> が次の関係をみたしているとする。<br />   p = r<sub>1</sub><br />   q = r<sub>2</sub><br />   r<sub>1</sub> = f<sub>1</sub> r<sub>2</sub> + r<sub>3</sub>, ( r<sub>3</sub> &gt; r<sub>2</sub> )<br />   r<sub>2</sub> = f<sub>2</sub> r<sub>3</sub> + r<sub>4</sub>, ( r<sub>4</sub> &gt; r<sub>3</sub> )<br />     ︙<br />   r<sub>n-2</sub> = f<sub>n-2</sub> r<sub>n-1</sub> + r<sub>n</sub>, ( r<sub>n</sub> &gt; r<sub>n-1</sub> )<br />   r<sub>n-1</sub> = f<sub>n-1</sub> r<sub>n</sub><br />  このとき、 gcd ( p , q ) = gcd ( r<sub>j</sub> , r<sub>j+1</sub> ) ( j = 1 , 2 , … , n - 1 ) が成り立つことを j に関する数学的帰納法で示しなさい。<br /> (3)  p と q を互いに素な正の整数とする。このとき、 ap + bq = 1 を満たす整数 a , b が存在することを示しなさい。
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2015Cmが偶数になる最小のm [2015 東京大・理]

m を 2015 以下の正の整数とする。 2015Cmが偶数となる最小の m を求めよ。
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鳩の巣原理 [2016 神戸大・理(後)]

m を 2 ≦ m ≦ 9 をみたす自然数とする。 xy 平面上の点のうち、 x 座標と y 座標がともに整数のものを格子点という。 x 座標と y 座標がともに -1 , 0 , 1 のいずれかである 9 個の格子点を考える。これらの格子点から異なる m 個の格子点を選ぶ。選ばれた m 個の格子点のうち、どの異なる2点の中点も格子点とならないような m 個の格子点を選ぶ選び方の総数を a<sub>m</sub> とおく。 a<sub>m</sub> ( 2 ≦ m ≦ 9 )を求めよ。
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有理数・無理数の稠密性 [2016 大阪大・専門数学]

 次の問いに答えよ。 (1) r , s を$ r \dfrac{1}{\beta - \alpha}$を満たすような十分大きい自然数 N をとる。このとき、   $N(\beta -\alpha) >1$ すなわち   ...
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n進法で表される等式 [2016 京都大・文]

【問題】 n を4以上の自然数とする。数 2 , 12 , 1331 がすべて n 進法で表記されているとして 2<sup>12</sup> = 1331 が成り立っている。このとき n はいくつか。十進法で答えよ。
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巡回群の直積と位数 [2016 慶應大・理工]

 iを虚数単位とする。次の事実がある。<br /> 【事実F】 a , b を互いに素な正の整数とする。このとき、 ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b)<sup>k</sup> = cos 2π/b + i sin 2π/b となる整数 k が存在する。<br /> (1) 等式 ( cos 4π/5 + i sin 4π/5 )<sup>k</sup> = cos 2π/5 + i sin 2π/5 を満たす最小の正の整数 k は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。<br /> (2) a , b を互いに素な正の整数とし、集合Pを、<br /> P = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2aπ/b + i sin 2aπ/b )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> で定める。事実Fを考慮すると、集合Pの要素の個数 n(P) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。<br /> (3) 事実Fを証明しなさい。<br /> (4) a<sub>1</sub> , b<sub>1</sub> を互いに素な正の整数とし、a<sub>2</sub> , b<sub>2</sub> も互いに素な正の整数とする。集合Q<sub>1</sub> , Q<sub>2</sub> を<br /> Q<sub>1</sub> = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a<sub>1</sub>π/b<sub>1</sub> + i sin 2a<sub>1</sub>π/b<sub>1</sub> )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> Q<sub>2</sub> = { z | z は整数 k を用いて ( cos 2a<sub>2</sub>π/b<sub>2</sub> + i sin 2a<sub>2</sub>π/b<sub>2</sub> )<sup>k</sup> と表される複素数 }<br /> で定め、集合Rを<br /> R = { z | z は集合 Q<sub>1</sub> の要素と集合 Q<sub>2</sub> の要素の積で表される複素数 }<br /> で定める。b<sub>1</sub> , b<sub>2</sub> が互いに素ならば、集合Rの要素の個数 n(R) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。b<sub>1</sub> , b<sub>2</sub> が互いに素でないとき、それらの最大公約数を d とすれば、集合Rの要素の個数 n(R) は<span style="border-style: solid; border-width: 1px;">   </span>である。
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約数の個数と和 [2016 慶應大・理工]

 2016の正の約数は全部で   個あり、それらの平均は   である。 [2016 慶應大・理工] イズミの解答への道  約数の個数と和に関する基本問題です。これは基礎テク!ですから、解法を覚えておきましょう。 解答...
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tan1°は有理数か [2006 京都大・共通(後)]

問題  tan 1°は有理数か。 イズミの解答への道  今年一番の短い問題? おそらく無理数なのですが、それを示すにはどうすればよいか、悩む問題です。 解答  背理法で証明する。tan 1°が有理数であると仮定すると、...
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無限降下法 [2005 首都大学東京(後)]

 2 以上の自然数 n に対して方程式   (*) xn + 2yn = 4zn を考える。次の問いに答えよ。 (1) n = 2 のとき、(*)を満たす自然数 x , y , z の例を与えよ。 (2) n ≧ 3 のとき...
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tanの値がすべて整数となる三角形 [1984 一橋大]

問題  三角形 ABC で tan A , tan B , tan C が整数のとき、その値を求めよ。 イズミの解答への道  いきなりこの問題が出題されると、手も足も出ない受験生が多い。ここで使える手法が、「一般性を失わない」...
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