n進法で表される等式 [2016 京都大・文]

 nを4以上の自然数とする。数 2 , 12 , 1331 がすべて n 進法で表記されているとして
  212 = 1331
が成り立っている。このとき n はいくつか。十進法で答えよ。

[2016 京都大・文]

イズミの解答への道

 n進法の考え方が分かっていれば非常に簡単な問題。後半では答えが一つしか無いことを証明することも忘れずに。

解答

 2 , 12 , 1331 を10進法に直すと、それぞれ
  2 = 2
  12 = n + 2
  1331 = n3 + 3n2 + 3n + 1
となるので、
  2n+2 = n3 + 3n2 + 3n + 1 = ( n + 1 )3 …※
となる。

 n = 4 , 5 , 6 のときは※は満たさない。 n = 7 のとき
  29 = ( 7 + 1 )3
となり※を満たす。よって、 n = 7 は題意を満たす。

 次に、 n ≧ 8 のとき、
  2^{n+2} > ( n + 1 )^3 ……※※
であることを数学的帰納法で示す。
 n = 8 のときは、
  210 = 1024 , ( 8 + 1 )3 = 729
となり題意を満たす。 n = k のとき※※を満たすとすると、 n = k + 1 のとき

\[ 2^{k+3} = 2\cdot 2^{k+2} > 2 (k+1)^3 \]

となり、いま、
  2 ( k + 1 )3 – ( k + 2 )2
  = k3 – 6k – 6
となり、いま、 k を実数として考えて、
  f ( k ) = k3 – 6k – 6
とおくと、
  f'( k ) = 3k2 – 6
は k ≧ 8 で f'( k ) > 0だから単調増加。f ( 8 ) > 0であることと合わせると、k ≧ 8 において f ( k ) は常に正、すなわち

\[ 2 ( k + 1 )^3 > ( k + 2 )^2 \]

である。よって、

\[ 2^{k+3} = 2\cdot 2^{k+2} > 2 (k+1)^3 > (k+2)^3 \]

が成り立つ。
 以上より、 n ≧ 8 において※※が成り立つことが示された。よって題意を満たす n は n = 7 のみである。

解説

n進法

コメント

  1. nk より:

    最後の答えは、n=7の間違いですね

    • イズミ より:

      nkさま
      コメントありがとうございました。その通り、間違えておりましたので修正しておきました。