数列の和に関する性質[2006 東京大・理(後)]

数列の和の公式

\[ \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n (n+1) , \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) , \quad \sum_{k=1}^n k^3 =\left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 \]

などについて、次のような一般的な考察をしてみよう。 p , n を自然数とする。

(1) p + 1 次多項式 Sp ( x ) があって、数列の和 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^p が Sp ( x ) と表されることを示せ。

(2) q を自然数とする。(1)の多項式 S1 ( x ) , S3 ( x ) , … , S2q-1 ( x ) に対して、

\[ \sum_{j=1}^q a_j S_{2j-1}(x) = x^q (x+1)^q \]

が恒等式となるような定数 a1 , … , aq を q を用いて表せ。

(3) q を 2 以上の自然数とする。(1)の多項式 S2 ( x ) , S4 ( x ) , … , S2q-2 ( x ) に対して、

\[ \sum_{j=1}^{q-1} b_j S_{2j}(x) = x^{q-1} ( x+1)^{q-1} (cx+q) \]

が恒等式となるような定数 c と b1 , … , bq-1 を q を用いて表せ。

(4) p を 3 以上の奇数とする。このとき、

\[ \frac{d}{dx} S_p(x) = p S_{p-1}(x) \]

を表せ。

[2006東京大・理(後)]

イズミの解答への道

解答

解説

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