四次関数と接線 ［2014 北海道大・理］

イズミの解答への道

　この問題は頻出問題で、解き方を知らないと解くのに苦労することでしょう。

解答

(1)　f ‘ ( x ) = 4x³ -12x² – 16x
　　　　　　= 4x ( x² – 3x – 4 )
　　　　　　= 4x ( x – 4 ) ( x + 1 )
であるから、増減表は

となるので、

• 極大値は x = 0 のとき f ( 0 ) = 0
  
• 極小値は x = -1 のとき f ( -1 ) = -3 と、x = 4 のとき f ( 4 ) = -128
  

(2)　求める直線は y 軸と平行ではないので、
　　y = mx + n
とおくことができる。この直線は曲線 y = f ( x ) に 2点 x = a , b で接するから、
　　f ( x ) – ( mx + n ) = ( x – a )² ( x – b )²　…(a)
と表すことができる。
　　(a)の左辺 = x⁴ – 4x³ – 8x² – mx – n
　　(a)の右辺 = ( x² -2ax + a² ) ( x² – 2bx + b² )
　　　　　　　= x⁴ – 2( a + b )x³ + ( a² + 4ab + b²) x² – 2ab( a + b )x + a²b²
となるので、これらの係数を比較して、
　　-2(a+b) = -4　…(b)
　　a² + 4ab + b² = -8　…(c)
　　-2ab( a + b ) = -m　…(d)
　　a²b² = -n　…(e)
となる。(b)式より、
　　a + b = 2
であり、これを(c)式に代入して、
　　( a + b )² + 2ab = -8
より ab = -6 である。（実際、 a + b = 2 , ab = -6 を満たす実数 a , b は存在する。）
　これらを、(d)式、(e)式に代入して、
　　m = 2ab ( a + b ) = -24
　　n = -(ab)² = -36
となることから、求める直線の方程式は
　　y = -24x – 36
である。

解説

三次関数のおなじみの方法だと…

囲まれる面積

四次関数と2点で接する接線に囲まれる面積は、

で求められることが知られています。