四次関数と接線 [2014 北海道大・理]

 f ( x ) = x4 – 4x3 – 8x2 とする。
(1) 関数 f ( x ) の極大値と極小値、およびそのときの x を求めよ。
(2) 曲線 y = f ( x ) に2点 ( a , f ( a ) ) と ( b , f ( b ) ) ( a < b ) で接する直線の方程式を求めよ。

[2014 北海道大・理]

イズミの解答への道

 この問題は頻出問題で、解き方を知らないと解くのに苦労することでしょう。

解答

(1) f ‘ ( x ) = 4x3 -12x2 – 16x
      = 4x ( x2 – 3x – 4 )
      = 4x ( x – 4 ) ( x + 1 )
であるから、増減表は

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & & -1 & & 0 & & 4 & \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline  f(x) & \searrow & -3 & \nearrow & 0 & \searrow & -128 & \nearrow \end{array} \]

となるので、


  • 極大値は x = 0 のとき f ( 0 ) = 0
  • 極小値は x = -1 のとき f ( -1 ) = -3 と、x = 4 のとき f ( 4 ) = -128

(2) 求める直線は y 軸と平行ではないので、
  y = mx + n
とおくことができる。この直線は曲線 y = f ( x ) に 2点 x = a , b で接するから、
  f ( x ) – ( mx + n ) = ( x – a )2 ( x – b )2 …(a)
と表すことができる。
  (a)の左辺 = x4 – 4x3 – 8x2 – mx – n
  (a)の右辺 = ( x2 -2ax + a2 ) ( x2 – 2bx + b2 )
       = x4 – 2( a + b )x3 + ( a2 + 4ab + b2) x2 – 2ab( a + b )x + a2b2
となるので、これらの係数を比較して、
  -2(a+b) = -4 …(b)
  a2 + 4ab + b2 = -8 …(c)
  -2ab( a + b ) = -m …(d)
  a2b2 = -n …(e)
となる。(b)式より、
  a + b = 2
であり、これを(c)式に代入して、
  ( a + b )2 + 2ab = -8
より ab = -6 である。(実際、 a + b = 2 , ab = -6 を満たす実数 a , b は存在する。)
 これらを、(d)式、(e)式に代入して、
  m = 2ab ( a + b ) = -24
  n = -(ab)2 = -36
となることから、求める直線の方程式は
  y = -24x – 36
である。

解説

三次関数のおなじみの方法だと…

囲まれる面積

四次関数と2点で接する接線に囲まれる面積は、

\[ \int_a^b \{ f(x) - (mx + n ) \} dx = \frac{|\alpha|}{30}(b-a)^5 \]

で求められることが知られています。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする