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微分可能の定義に関する証明 [2007 順天堂大・医]

微分可能の定義に関する証明 [2007 順天堂大・医]

次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。
(1) 関数 f ( x ) が x = a で微分可能とはどういうことか、説明せよ。
(2) 「関数 y = f ( x ) が x = a で微分可能である」と「関数 y = f ( x ) が x = a で連続である」とはどのような関係にあるか述べよ。またそれを証明せよ。
(3) ある区間 a < x < b で微分可能な関数 f ( x ) , g ( x ) について、導関数の定義から、関数の積 f ( x ) g ( x ) の導関数を求めよ。

e が無理数であることの証明 [1997 大阪大・理(後)]

e が無理数であることの証明 [1997 大阪大・理(後)]

 自然数 n に対して、関数 fn ( x ) = xn e1-x と、その定積分 an = ∫{0→1} fn (x) dx を考える。ただし、 e は自然対数の底である。次の問いに答えよ。
(1) 区間 0 ≦ x ≦ 1 上で 0 ≦ fn ( x ) ≦ 1 であることを示し、さらに 0 < an < 1 が成り立つことを示せ。
(2) a1 を求めよ。 n > 1 に対して an と an-1 の間の漸化式を求めよ。
(3) 自然数 n に対して、等式 an/n! = e - ( 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n! ) が成り立つことを証明せよ。
(4) いかなる自然数 n に対しても、 n ! e は整数とならないことを示せ。