微積(計算中心)

大学入試数学演習

関数方程式(tanh x) [2007 京都大・理乙]

問題  すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 f ( x ) が f ( 0 ) = 0 , f ' ( 0 ) = 1 を満たし、さらに任意の実数 a , b に対して 1 + f ( a ) f ( b ) ≠ 0 であっ...
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関数方程式(指数関数) [2009 慈恵医大]

問題  関数 f ( x ) は実数全体で定義されている。 f ( x ) が次の条件 および をみたすとき、 f ( x ) を求めたい。   条件 :すべての実数 x , y について、 f ( x + y ) = f ...
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微分可能の定義に関する証明 [2007 順天堂大・医]

次の問に答えよ。答えだけではなく式・説明など解答の途中の経過を示すこと。<br /> (1) 関数 f ( x ) が x = a で微分可能とはどういうことか、説明せよ。<br /> (2) 「関数 y = f ( x ) が x = a で微分可能である」と「関数 y = f ( x ) が x = a で連続である」とはどのような関係にあるか述べよ。またそれを証明せよ。<br /> (3) ある区間 a &lt; x &lt; b で微分可能な関数 f ( x ) , g ( x ) について、導関数の定義から、関数の積 f ( x ) g ( x ) の導関数を求めよ。
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関数方程式(その他) [2015 東北大・理(後)]

問題  -1 < x < 1 の範囲で定義された関数 f ( x ) で、次の2つの条件を満たすものを考える。   $\displaystyle f(x) + f(y) = f \left( \frac{x+y}{1+xy} \ri...
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難しい積分計算2 [2007 京都大・理乙]

 定積分 $\displaystyle \int_0^2 \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} dx$ を求めよ。 [2007 京都大・理乙] イズミの解答への道  積分はある程度は慣れですが、「なんとなく」...
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難しい積分計算3 [2010 東京理科大・理・数]

問題  次の積分の値を求めよ。 \ イズミの解答への道  積分計算にはいくつかのパターンがあり、 $\displaystyle \int \frac{1}{x^2 +1} dx$ のパターンでは、 x = tanθ とおきか...
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難しい積分計算1 [2002 芝浦工大]

問題  $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2} = x$とおくとき、sinθ, cosθ を x で表すと、    sinθ =     , cosθ =     であり、これらを利用すると、 ...
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e が無理数であることの証明 [1997 大阪大・理(後)]

 自然数 n に対して、関数 f<sub>n</sub> ( x ) = x<sup>n</sup> e<sup>1-x</sup> と、その定積分 a<sub>n</sub> = ∫{0→1} f<sub>n</sub> (x) dx を考える。ただし、 e は自然対数の底である。次の問いに答えよ。<br /> (1) 区間 0 ≦ x ≦ 1 上で 0 ≦ f<sub>n</sub> ( x ) ≦ 1 であることを示し、さらに 0 &lt; a<sub>n</sub> &lt; 1 が成り立つことを示せ。<br /> (2) a<sub>1</sub> を求めよ。 n &gt; 1 に対して a<sub>n</sub> と a<sub>n-1</sub> の間の漸化式を求めよ。<br /> (3) 自然数 n に対して、等式 a<sub>n</sub>/n! = e - ( 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n! ) が成り立つことを証明せよ。<br /> (4) いかなる自然数 n に対しても、 n ! e は整数とならないことを示せ。
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