e が無理数であることの証明 [1997 大阪大・理(後)]

 自然数 n に対して、関数 fn ( x ) = xn e1-x と、その定積分 \displaystyle a_n = \int_0^1 f_n (x) dx を考える。ただし、 e は自然対数の底である。次の問いに答えよ。
(1) 区間 0 ≦ x ≦ 1 上で 0 ≦ fn ( x ) ≦ 1 であることを示し、さらに 0 < an < 1 が成り立つことを示せ。
(2) a1 を求めよ。 n > 1 に対して an と an-1 の間の漸化式を求めよ。
(3) 自然数 n に対して、等式
  \displaystyle \frac{a_n}{n!} = e- \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)
が成り立つことを証明せよ。
(4) いかなる自然数 n に対しても、 n ! e は整数とならないことを示せ。

[1997 大阪大・理(後)]

イズミの解答への道

 誘導どおりに解いていけば、(2)まで詰まることはないでしょう。(2)の漸化式を解いて一般項を求められればよいのですが、これは一筋縄には行きません。しかし、求める式が与えられているので最悪でも“数学的帰納法”でなんとかしましょう。(3)までできれば(4)はもうすぐそこ。

解答

(1) f’n ( x ) = n xn-1 e1-x + xn (-e1-x)
    =e1-x xn-1 ( n – x ) ≧ 0
より fn ( x ) は単調増加であり、 fn ( 0 ) = 0 , fn ( 1 ) = 1 であるから、
  0 ≦ x ≦ 1 で 0 ≦ fn ( x ) ≦ 1
である。
 また、\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n (x) dx は、区間 0 ≦ x ≦ 1 における y = fn (x) と x 軸に挟まれた面積であり、

\[ \int_0^1 0 dx < \int_0^1 f_n (x) dx < \int_0^1 1 dx \]

が成り立つので、これより、0 < a_n < 1も示される。

(2) 部分積分より、

\begin{align*} a_1 &= \int_0^1 xe^{1-x} dx \\ &=\left[ x (-e^{1-x}) \right]_0^1 - \int_0^1 ( -e^{1-x} ) dx \\ &=\left[ - x e^{1-x} \right]_0^1 + \int_0^1 e^{1-x} dx \\ &= -1 - \left[ e^{1-x} \right]_0^1 \\ &= -1 -(1-e) = \bm{e-2} \end{align*}

であり、

\begin{align*} a_n &= \int_0^1 x^n e^{1-x} dx \\ &=\left[ x^n ( -e^{1-x}) \right]_0^1 - \int_0^1 \{ nx^{n-1} \cdot (-e^{1-x}) \} dx \\ &=\bm{-1 + na_{n-1}} \end{align*}

となる。

(3) 数学的帰納法で示す。
(i) n = 1 のとき、

\[ \frac{a_1}{1!} = e- \left( 1 + \frac{1}{1!} \right) \]

より、 a1 = e – 2 であり、これは(2)の結果と一致する。
(ii) n = k のときに成り立つとする、すなわち、

\[ \frac{a_k}{k!} = e - \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{k!} \right) \]

が成り立つとしたとき、

\begin{align*} \frac{a_{k+1}}{(k+1)!} &= \frac{-1 + (k+1)a_k}{(k+1)!} \\ &=\frac{a_k}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \\ &=e - \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{k!} \right) - \frac{1}{(k+1)!} \end{align*}

より、題意の等式は n = k + 1 のときも成り立つ。
 以上より、すべての自然数 n について第位の等式が成り立つことが示された。

(4) (3)より、

\[ a_n = n!e - n! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) \]

である。ここで、0<a_n <1より、 an は整数ではなく、\displaystyle  n! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)は整数であるから、 n!eは整数ではないといえる。

解説

eが無理数であることの証明

 e が有理数であると仮定すると、\displaystyle e = \dfrac{q}{p}( p , q は自然数) と表される。いま、

\begin{align*} n!e &= \{ 1 \cdot 2 \cdots (p-1) p (p+1) \cdots n \cdots \} \times \frac{q}{p} \\ &= ( 1 \cdots (p-1)(p+1) \cdots ) \times q \end{align*}

は整数となるが、(4)の結果に反する。よって背理法により、 e は無理数であることが示された。

eを無限和で表す

 (1)の結果と(3)で導かれた等式より、\displaystyle \frac{0}{n!} < \frac{a_n}{n!} < \frac{1}{n!}であるから、これを n → ∞ のはさみうちから、

\[ \frac{a_n}{n!} = e- \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) \to 0 \]

すなわち、

\[  e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} =  1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots \]

ということができる。これを ex の x = 0 におけるテイラー展開(すなわちマクローリン展開)という。

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