関数方程式(指数関数) [2009 慈恵医大]

問題

 関数 f ( x ) は実数全体で定義されている。 f ( x ) が次の条件 [1] および [2] をみたすとき、 f ( x ) を求めたい。
 
条件 [1] :すべての実数 x , y について、 f ( x + y ) = f ( x ) ・ f ( y ) が成り立つ。
条件 [2] :微分可能な関数である。すなわち、すべての実数 a について微分係数 f ‘ ( a ) が定まる。
 
以下の設問(A)および(B)の(1)、(2)、(3)、(4)に答えよ。(A)で述べられた結果は(B)で用いてよい。
 
(A) 関数 f ( x ) が条件 [1] をみたすとき、次の命題(A.1)、(A.2)が成り立つことを証明せよ。必要ならば 0 = a + ( -a ) であることを用いよ。
(A.1) ある実数 a について f ( a ) = 0 ならば、すべての実数 x について f ( x ) である。
(A.2) すべての実数 a について f ( a ) ≠ 0 ならば、 f ( 0 ) = 1 である。
 
(B) 関数 f ( x ) が条件 [1] および [2] をみたし、かつ 0 を値にとらないとする。
(1) すべての実数 x について f ( x ) > 0 であることを、背理法によって証明せよ。必要ならば「微分可能な関数は連続である」ことを用いよ。
(2) x = a における微分係数 f ‘ ( a ) の定義の式を記せ。
(3) すべての実数 x について
f ‘ ( x ) = f ( x ) ・ f ‘ ( 0 )
であることを示せ。
(4) f ‘ ( 0 ) = k とする。不定積分 \displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx を考えることにより f ( x ) を求め、 k を用いて表せ。

イズミの解答への道

 関数方程式の基本的な出題。(A)は関数方程式の基本テクを用いて突破したい。(B)でいよいよ関数方程式を解いていくのだが、誘導が丁寧なのでそれについていくようにしたい。

解答

(A)
【(A.1)の証明】
条件[1]より、 x = ( x – a ) + a と考えることで、
f ( x ) = f ( x – a ) ・ f ( a )
が成り立つが、 f ( a ) = 0 であるから、 すべての x に対してf ( x ) = 0 が成り立つ。
 
【(A.2)の証明】
条件[1]より、 a = a + 0 と考えることで、
f ( a ) = f ( a ) ・ f ( 0 )
であり、 f ( a ) ≠ 0 であるから両辺を f ( a ) で割って、 f ( 0 ) = 1 が成り立つ。
 
(B)
(1) f ( x ) は連続関数であり、 f ( 0 ) = 1 を満たす。ここで、 f ( a ) < 0 を満たすようなある実数 a が存在したとすると、中間値の定理により、 f ( x ) = 0 を満たす x が 0 と a の間に存在することになる。しかし、すべての実数に対して f ( x ) ≠ 0 であるから矛盾。よって、すべての実数 x に対して f ( x ) > 0 である。

解説

別解

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