チェビシェフの多項式 [1996 京都大・文(後)]

問題

(1) cos 5θ = f ( cos θ ) をみたす多項式 f ( x ) を求めよ。
(2) \displaystyle \cos \frac{\pi}{10}\cos \frac{3\pi}{10} \cos \frac{7\pi}{10} \cos \frac{9\pi}{10} = \frac{5}{16}を示せ。

イズミの解答への道

解答

(1) 加法定理より、
  cos 5θ = cos 3θ cos 2θ – sin 3θ sin 2θ
である。ここで、 cos θ = c , sin θ = s とおくと、
  cos 2θ = 2c2 – 1
  cos 3θ = -3c + 4c3
  sin 2θ = 2cs
  sin 3θ = 3s – 4s3
     = s { 3 – 4 ( 1 – c2 ) }
     = s ( 4c2 – 1 )
となるから、
  cos 5θ = ( 4c3 – 3c ) ( 2c2 – 1 ) – s ( 4c2 – 1 ) ・ 2cs
      = 16c5 – 20c3 + 5c
となることより、求める f ( x ) は、
  f ( x ) = 16x5 – 20x3 + 5x

(2) 0 ≦ θ ≦ π の範囲で、
  cos 5θ = 0  ……?
を満たすのは、

\[ \theta = \frac{\pi}{10} , \frac{3\pi}{10} ,\frac{5\pi}{10},\frac{7\pi}{10},\frac{9\pi}{10} \]

である。これらは、すべて異なる値であるから、これらは?の解である。よって、

\begin{align*} &16x^5 - 20x^3 + 5x \\ &= \left( x - \cos \frac{\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{3\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{5\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{7\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{9\pi}{10} \right) \end{align*}

と因数分解でき、このうち、 \displaystyle \cos \frac{5\pi}{10} = 0であることから、両辺の x を約分して、

\begin{align*} &16x^4 - 20x^2 + 5 \\ &= \left( x - \cos \frac{\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{3\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{7\pi}{10} \right) \left( x - \cos \frac{9\pi}{10} \right) \end{align*}

となる。ここで解と係数の関係より、定数項を比較して、

\[ \cos \frac{\pi}{10}\cos \frac{3\pi}{10} \cos \frac{7\pi}{10} \cos \frac{9\pi}{10} = \bm{\frac{5}{16}} \]

となることが示された。

解説

チェビシェフの多項式

類題1

 まずは、上の問題とほとんど同じパターンで解くことができる問題です。

テスト

【解答】

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