最大値の最小値［2015 九州大（後）］

問題

　x , y を 0 以上 1 以下の実数とする。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、 a , b , c , d が実数のとき、 max ( a , b ) は a , b のうちの最大の数を表し、 max ( a , b , c , d ) は a , b , c , d のうちの最大の数を表す。
(1)　max ( xy , 1 – xy ) の最小値を求めよ。
(2)　max ( xy , 1 – xy , x , y ) の最小値を求めよ。

イズミの解答への道

　高校の授業や問題集であまり見ないタイプの問題である。

解答

(1)　m = max ( xy , 1 – xy ) とおくと、
　　xy ≦ m
　　1 – xy ≦ m
であり、辺々足して、
　　1 ≦ 2m
より、 $\displaystyle m \geqq \frac{1}{2}$ が成り立つ。
　等号は $\displaystyle x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ などで成り立つので、 m の最小値は $\displaystyle \bm{ \frac{1}{2} }$ である。

(2)　m = max ( xy , 1 – xy , x , y ) とおくと、
　　xy ≦ m　…①
　　1 – xy ≦ m　…②
　　x ≦ m　…③
　　y ≦ m　…④
が成り立つ。③、④より、
　　xy ≦ m²　…⑤
であり、②は
　　1 – m ≦ xy …②’
と変形できるので、⑤と②’より、
　　1 – m ≦ m²
が成り立つ。これを解いて、 m ≧ 0 より、

$\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \leqq m$

である。
　つぎに等号について考える。まず $\displaystyle \alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ おくと、このとき、
　　1 – α = α²　…⑥
を満たす。
　いま、 x = y = α とすると、
　　xy = α² < α 　　1 - xy = 1 - α² = α（ ⑥を利用）
であるから、 m = α が成り立つ。
　以上より、m の最小値は $\displaystyle \bm{ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}$ である。

解説

別解

　冒頭で述べたように、教科書や参考書にないパターンの問題のため、最初の一手が難しいだろう。
　そこで、ここでは上記のような解法が思いつかない場合に、なんとかこの問題を解ききるためにどのような解法があるか、別解として紹介しよう。（応用の効く解き方ではない、ということである。）
　
(2)　xy ≦ x , xy ≦ y であるから、等号が成り立たない場合においては、 1 – xy あるいは x , y が max ( 1 – xy , xy , x , y ) の値を決めることになる。以後 m = max ( 1 – xy , xy , x , y ) とおく。
　
　先に等号が成立する場合を考える。
　x = 1 のとき、 y ≦ 1 , xy ≦ 1 , 1 – xy = 1 – y ≦ 1 であるから、 m = 1 である。 y = 1 のときも同様である。
　
　つぎに x ≠ 1 , y ≠ 1 のときを考える。

　 $xy < x , xy < y$ であるから、 xy は m には影響しないから、 x または y または 1 – xy が最大値である。

　いま、 x が増加すると 1 – xy は減少することより、 m を最小化するためには、
　　x = 1 – xy
が必要である。同様に、 y が増加しても 1 – xy が減少するので、m を最小化するには、
　　y = 1 – xy
が必要である。これらを連立すると、
　　x = y
より、
　　1 – x² = x
であるから、 $x \geqq 0$ に注意してこれを解いて、 $\displaystyle x = y = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ となる。
　
　このとき、 $\displaystyle x = y = 1 - xy = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ であり、 xy は明らかにこの値より小さくなる。
　また、冒頭で確認した x = 1 あるいは y = 1 のときの m の最小値 1 より小さい値である。
　
　以上より、 m の最小値は $\displaystyle \bm{ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}$ であることが示された。