等差×等比の和 [2015 横浜市立大・医]

問題

 数列の和 \displaystyle \sum_{j=1}^n j^2 2^{n-j}を求めよ。

イズミの解答への道

 「等差×等比の和」は超基本的な問題ですが、この問題は等差数列ではないので、試験で出題されると慌ててしまいそうです。それでも試しにその方法をやってみれば、実は2回繰り返すことで解ける、というところがポイントです。
 別解で示した方法も覚えておくとよいでしょう。

解答

 求める和を S とすると、

\[ \begin{array}{rrrrrrr} S   =& 1^2 \cdot 2^{n-1} &+ 2^2 \cdot 2^{n-2} &+ 3^2 \cdot 2^{n-3} &+ \cdots +& n^2 \cdot 2^0 & \\ \displaystyle \frac{1}{2}S =&   &+ 1^2 \cdot 2^{n-2} &+ 2^2 \cdot 2^{n-3} &+ \cdots +& (n-1)^2 \cdot 2^0 &+ n^2 \cdot 2^{-1} \\ \end{array} \]

であるから、上の式から下の式を引いて、

\begin{align*} \frac{1}{2}S &= 1^2 \cdot 2^{n-1} + (2^2-1^2) \cdot 2^{n-2} + (3^2-2^2) \cdot 2^{n-3} + \cdots \\ &\qquad + \{ n^2 - (n-1)^2 \} 2^0 - \frac{1}{2}n^2 \\ &= 1 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n-2} + 5 \cdot 2^{n-3} + \cdots + (2n-1) \cdot 1 - \frac{1}{2}n^2 \end{align*}

となる。
 さらに同様に、

\[ \begin{array}{rrrrrll} \displaystyle \frac{1}{2}S =& 1 \cdot 2^{n-1} &+ 3 \cdot 2^{n-2} &+ \cdots +& (2n-1) \cdot 2^0 & \displaystyle -\frac{1}{2}n^2 & \\ \displaystyle \frac{1}{4}S =& &+ 1 \cdot 2^{n-2} &+ \cdots +& (2n-3)\cdot 2^0 &+ \displaystyle \frac{1}{2}(2n-1) & \displaystyle -\frac{1}{4}n^2 \\ \end{array} \]

の上の式から下の式を引いて、

\begin{align*} \frac{1}{4}S &= 1 \cdot 2^{n-1} + \{ 2 \cdot 2^{n-2} + \cdots + 2 \cdot 1 \} - \frac{1}{2}n^2 -\frac{1}{2} (2n-1) + \frac{1}{4}n^2 \\ S &= 2^{n+1} + 8 \{1 + 2 + \cdots + 2^{n-2} \} - n^2 - 4n + 2 \\ &= 2^{n+1} + 8(2^{n-1} - 1) -n^2 -4n + 2\\ &=\bm{2^{n+2} + 2^{n+1} - n^2 - 4n -6} \end{align*}

解説

別解

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