2019年 センター数学IA 第4問

2019年 センター数学IA
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(1) 不定方程式
  49x – 23y = 1
の解となる自然数 x , y の中で、 x の値が最小のものは
  x =  ア  , y =  イウ 
であり、すべての整数解は、 k を整数として
  x =  エオ  k +  ア  , y =  カキ  +  イウ 
と表せる。

(2) 49の倍数である自然数 A と23の倍数である B の組 ( A , B ) を考える。A と B の差の絶対値が1となる組 ( A , B ) の中で、Aが最小になるのは
  ( A , B ) = ( 49✕ ク  , 23✕ ケコ  )
である。また、AとBの差の絶対値が2となる組 ( A , B ) の中で、Aが最小になるのは
  ( A , B ) = ( 49✕ サ  , 23✕ シス  )
である。

(3) 連続する三つの自然数 a , a + 1 , a + 2 を考える。
   a と a + 1 の最大公約数は 1
   a + 1 と a + 2 の最大公約数は 1
   a と a + 2 の最大公約数は 1 または  セ 
である。
 また、次の条件がすべての自然数 a で成り立つような自然数 m のうち、最大のものは m =  ソ  である。
  条件: a ( a + 1 ) ( a + 2 ) は m の倍数である。

(4) 6762を素因数分解すると
   6762 = 2 ✕  タ ✕7 ツテ 
である。
 b を b ( b + 1 ) ( b + 2 ) が 6762 の倍数となる最小の自然数とする。このとき、 b , b + 1 , b + 2 のいずれかは7の倍数であり、また b , b + 1 , b + 2 のいずれかは ツテ の倍数である。したがって、 b =  トナニ  である。

解答

アイウ

 特殊解を見つけて、 x = 8 , y = 17 となる。

エオカキ

 49・x – 23・y = 1
 49・8 – 23・17 = 1
を辺々引いて、
 49 ( x – 8 ) – 23 ( y – 17 ) = 0
であり、49と23は互いに素だから、k を整数として
  x – 8 = 23k
  y – 17 = 49k
とおくことができる。よって、
  x = 23k + 8 , y = 49k + 17
である。

クケコサシス

 AとBの差の絶対値が1となるもののうち、Aが最小なのは、
 ( A , B ) = ( 49 × 8 , 23 × 17 )
であり、AとBの差の絶対値が2となるもののうち、Aが最小なのは、
 ( A , B ) = ( 49 × 7 , 23 × 15 )
である。

セソ

 a と a + 2 の最大公約数は 1 または 2 である。

 また連続する3数は、いずれかは2の倍数であり、同時にいずれかは3の倍数であるから、連続する3数の積は必ず6の倍数となる。

タチツテ

 素因数分解をして、
  6762 = 2 × 3 × 72 × 23
である。

トナニ

 問題文にある通り b , b + 1 , b + 2 の中には、 23 の倍数と 49 の倍数が共に存在しなければならなく、そのためには、(2)の設問(「クケコサシス」の箇所)で確認した絶対値が1または2離れている、23の倍数と49の倍数の組み合わせがここに当てはまる必要がある。
 より小さいペアを求められているので、今回は2離れている
  ( 49×7 , 23×15 ) = ( 343 , 345 )
を選んで考える。

 そこで、m = 343 , m + 2 = 345 とおいてみると、
  m ( m + 1 ) ( m + 2 ) = ( 49 × 7 ) × 344 × ( 23 × 15 )
となり、これには、 2 , 3 , 72 , 23 のすべての因数が含まれるので、これは 6762 の倍数であるといえる。
 よって求める答えは m = 343 である。

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