2017年 センター数学IA 第1問[2]

2017年 センター数学IIB
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 実数 x に関する2つの条件 p , q を
  p : x = 1
  q : x2 = 1
とする。また、条件 p , q の否定をそれぞれ p , q で表す。

(1) 次の  ケ  コ  サ  シ  に当てはまるものを、下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。

 p は q であるための  ケ 
 p は q であるための  コ 
 ( p または q ) は q であるための  サ 
 ( p かつ q ) は q であるための  シ 

 ⓪ 必要条件だが十分条件でない
 ① 十分条件だが必要条件でない
 ② 必要十分条件である
 ③ 必要条件でも十分条件でもない

(2) 実数 x に関する条件 r を
  r : x > 0
とする。次の  ス  に当てはまるものを、下の⓪~⑦のうちから一つ選べ。
 3つの命題
  A : 「 ( p かつ q ) ⇒ r 」
  B : 「 q ⇒ r 」
  C : 「 qp
の真偽について正しいものは  ス  である。

 ⓪ Aは真、Bは真、Cは真
 ① Aは真、Bは真、Cは偽
 ② Aは真、Bは偽、Cは真
 ③ Aは真、Bは偽、Cは偽
 ④ Aは偽、Bは真、Cは真
 ⑤ Aは偽、Bは真、Cは偽
 ⑥ Aは偽、Bは偽、Cは真
 ⑦ Aは偽、Bは偽、Cは偽

解答

必要・十分の問題は、 p ⇒ q 、 q ⇒ p それぞれの真偽を確認する

 詳しい解法については、次のページで勉強してください。

必要条件と十分条件|勘に頼らなくても解ける!
実はイズミも、高校で初めて「必要条件と十分条件」を習ったときにはわけが分からなくて、勘で答えを書いていたものです(大体4択ですから、25%で当たります)。しかし、コツさえつかめば誰でも習得できるものなので、しっかり勉強していきましょう。

 q : x2 = 1 ⇔ x = ±1 ということ。いま、
  q ⇒ p は偽(反例: x = -1 のとき)
  p ⇒ q は正
であるから、 q は p であるための 必要条件であるが十分条件ではない。よって、が正解。

 p とは、 x が 1 以外のすべての実数だということ。
  p ⇒ q は偽(反例: x = 3 など)
  q ⇒ p は偽(反例: x = 1 のとき)
であるから、 p は q であるための必要条件でも十分条件でもない。答えは③。

 ( p または q ) とは、 x ≠ -1 ということ。
  x ≠ -1 ⇒ q : x = ±1 は偽(反例は x = 3 など)
  q : x = ±1 ⇒ x ≠ 1 も偽(反例は x = 1 のとき)
であるから、( p または q ) は q であるための必要条件でも十分条件でもない。答えは③。

2つも同じ答えがあると自信がなくなりますね!

 ( p かつ q ) とは、 x = -1 ということ。
  x = -1 ⇒ q : x = ±1 は真。
  q : x = ±1 ⇒ x = -1 は偽(反例は x = 1 のとき)
であるから、( p かつ q ) は q であるための十分条件であるが必要条件ではない。よって答えは①。

 ( p かつ q ) とは、 x = 1 ということ。 x = 1 ⇒ x > 0 は真。
 x = ±1 ⇒ x > 0 は偽(反例は x = -1 )
 x ≠ ±1 ⇒ x ≠ 1 は真。

 以上より、答えは②。

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