2017年センター数学IA 第1問[2]

2017年センター数学IIB
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　実数 x に関する2つの条件 p , q を
　　p : x = 1
　　q : x² = 1
とする。また、条件 p , q の否定をそれぞれ p , q で表す。

(1)　次の　ケ　、　コ　、　サ　、　シ　に当てはまるものを、下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。

　p は q であるための　ケ　。
　p は q であるための　コ　。
　( p または q ) は q であるための　サ　。
　( p かつ q ) は q であるための　シ　。

　⓪ 必要条件だが十分条件でない
　① 十分条件だが必要条件でない
　② 必要十分条件である
　③ 必要条件でも十分条件でもない

(2)　実数 x に関する条件 r を
　　r : x > 0
とする。次の　ス　に当てはまるものを、下の⓪～⑦のうちから一つ選べ。
　3つの命題
　　A : 「 ( p かつ q ) ⇒ r 」
　　B : 「 q ⇒ r 」
　　C : 「 q ⇒ p 」
の真偽について正しいものは　ス　である。

　⓪ Aは真、Bは真、Cは真
　① Aは真、Bは真、Cは偽
　② Aは真、Bは偽、Cは真
　③ Aは真、Bは偽、Cは偽
　④ Aは偽、Bは真、Cは真
　⑤ Aは偽、Bは真、Cは偽
　⑥ Aは偽、Bは偽、Cは真
　⑦ Aは偽、Bは偽、Cは偽

解答

必要・十分の問題は、 p ⇒ q 、 q ⇒ p それぞれの真偽を確認する

　詳しい解法については、次のページで勉強してください。

必要条件と十分条件｜勘に頼らなくても解ける！

実はイズミも、高校で初めて「必要条件と十分条件」を習ったときにはわけが分からなくて、勘で答えを書いていたものです（大体4択ですから、25%で当たります）。しかし、コツさえつかめば誰でも習得できるものなので、しっかり勉強していきましょう。

ケ

　q : x² = 1 ⇔ x = ±1 ということ。いま、
　　q ⇒ p は偽（反例： x = -1 のとき）
　　p ⇒ q は正
であるから、 q は p であるための必要条件であるが十分条件ではない。よって、⓪が正解。

コ

　p とは、 x が 1 以外のすべての実数だということ。
　　p ⇒ q は偽（反例： x = 3 など）
　　q ⇒ p は偽（反例： x = 1 のとき）
であるから、 p は q であるための必要条件でも十分条件でもない。答えは③。

サ

　( p または q ) とは、 x ≠ -1 ということ。
　　x ≠ -1 ⇒ q : x = ±1　は偽（反例は x = 3 など）
　　q : x = ±1 ⇒ x ≠ 1 も偽（反例は x = 1 のとき）
であるから、( p または q ) は q であるための必要条件でも十分条件でもない。答えは③。

2つも同じ答えがあると自信がなくなりますね！

シ

　( p かつ q ) とは、 x = -1 ということ。
　　x = -1 ⇒ q : x = ±1 は真。
　　q : x = ±1 ⇒ x = -1 は偽（反例は x = 1 のとき）
であるから、( p かつ q ) は q であるための十分条件であるが必要条件ではない。よって答えは①。

ス

　( p かつ q ) とは、 x = 1 ということ。 x = 1 ⇒ x > 0 は真。
　x = ±1 ⇒ x > 0 は偽（反例は x = -1 ）
　x ≠ ±1 ⇒ x ≠ 1 は真。

　以上より、答えは②。