2017年センター数学IA 第3問

2017年センター数学IIB
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　あたりが2本、はずれが2本の合計4本からなるくじがある。 A、B、C の3人がこの順に1本ずつくじを引く。ただし、1度引いたくじはもとに戻さない。

(1)　A、B の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 E₁ の確率は、　ア　　イ　である。

(2)　次の　ウ　、　エ　、　オ　に当てはまるものを、下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

　A、B、C の3人で2本のあたりのくじを引く事象 E は、3つの排反な事象　ウ　、　エ　、　オ　の和事象である。

　⓪ Aがはずれのくじを引く事象
　① Aだけがはずれのくじを引く事象
　② Bがはずれのくじを引く事象
　③ Bだけがはずれのくじを引く事象
　④ Cがはずれのくじを引く事象
　⑤ Cだけがはずれのくじを引く事象

　また、その和事象の確率は　カ　　キ　である。

(3)　事象 E₁ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率は、　ク　　ケ　である。

(4)　次の　コ　、　サ　、　シ　に当てはまるものを、下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

　B、Cの少なくとも一方があたりのくじを引く確率 E₂ は、3つの排反な事象　コ　、　サ　、　シ　の和事象である。

　また、その和事象の確率は　ス　　セ　である。他方、 A、C の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 E₃ の確率は、　ソ　　タ　である。

(5)　次の　チ　に当てはまるものを、下の⓪～⑥のうちから一つ選べ。

　事象 E₁ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 p₁ 、事象 E₂ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 p₂ 、事象 E₃ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率 p₃ の間の大小関係は、　チ　である。

　⓪　p₁ < p₂ < p₃　　①　p₁ > p₂ > p₃
　②　p₁ < p₂ = p₃　　③　p₁ > p₂ = p₃
　④　p₁ = p₂ < p₃　　⑤　p₁ = p₂ > p₃
　⑥　p₁ = p₂ = p₃

解答

アイ

「少なくとも」は余事象を考える

　どちらもはずれを引く確率は、 $\displaystyle \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ だから、求める確率は、

$1 - \frac{1}{6} = \bm{\frac{5}{6}}$

である。

ウエオ

　3人のうち2人があたりを引くということは、A、B、Cがこの順に、
　　「はずれ、あたり、あたり」、「あたり、はずれ、あたり」、「あたり、あたり、はずれ」
となる、（お互いに排反な）3つの事象の和になる。これを言い換えると、
　　「Aだけがはずれる」、「Bだけがはずれる」、「Cだけがはずれる」
ということだから、答えは、①、③、⑤。

カキ

　「Aだけがはずれる」確率は、 $\displaystyle \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
　「Bだけがはずれる」確率は、 $\displaystyle \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ 　……(a)
　「Cだけがはずれる」確率は、 $\displaystyle \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{1}{6}$ 　……(b)
であるから、求める確率は $\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ である。

クケ

　事象 E₁ の起こる確率を P ( E₁ ) 、事象 E の起こる確率を P ( E ) とすると、求める確率は、

$\frac{P(E_1)}{P(E)} = \frac{1/2}{5/6} = \bm{\frac{3}{5}}$

となる。

コサシ

　条件から、「3人全員があたり」になったり、「3人全員がはずれ」になったりすることはない。よって、「Aがはずれ」た場合は、BかCのどちらかは当たりとなる。
　残りはAがあたった場合を考える。Bが当たりならCがはずれ、Cが当たりならBがはずれということになり、これらはそれぞれ「Cだけがはずれ」「Bだけがはずれ」ということと同じである。
　よって、求める3つの事象は、⓪、③、⑤。

ウエオと違い、この問題の答えをパッと思いつくのは難しいと思います。解答の最後に書きますが、全通りを書き出して、ちょうど3つの条件で表せるように、試行錯誤する必要があり、時間がかかりそうです。

スセ

　Aがはずれを引く確率は、2/4 = 1/2。
　Bだけがはずれを引く確率、Cだけがはずれを引く確率は、(a)、(b)からどちらも1/6。
　よって求める確率は、

$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \bm{\frac{5}{6}}$

ソタ

チ

この問題で起こりうる事象は以下の6パターンしかなく、すべてが排反かつどれも起こる確率が等しい。そのことを利用すると、次のように解くことができる。

　この問題で起こる事象は、（あたりを○、はずれを×、左から順にABCのあたりはずれを表すとして、）
　　a : ○○×
　　b : ○×○
　　c : ×○○
　　d : ○××
　　e : ×○×
　　f : ××○
の6パターンで、いずれも起こる確率は 1/6 です。

(1) a , b , c , d , e が該当するので、もとめる確率は 5/6 。
(2) a , b , c なので、 3/6 = 1/2。
(3) 事象 a , b , c が起こる確率の合計事象 a , b , c , d , e が起こる確率の合計 = 3/65/6 = 35
(4) E₂ が、 a , b , c , e , f が該当なので 5/6 。E₃ も 5/6 になる。
(5) p₁ = 3/5 でした。同じように、 p₂ = 3/65/6 = 3/5 , p₃ = 3/5 なので、p₁ = p₂ = p₃ となります。