2015年 センター数学IA 第5問

第5問

 以下では、a = 756 とし、 m は自然数とする。

(1) a を素因数分解すると、
  a = 2・3 ウ 
である。
 a の正の約数の個数は  エオ  個である。

 

(2) \sqrt{am}が自然数となる最小の自然数 m は  カキ である。\sqrt{am}が自然数となるとき、 m はある自然数 k により m =  カキ  k2 と表される数であり、そのときの \sqrt{am}の値は  クケコ  k である。

 

(3) 次に、自然数 k により  クケコ  k と表わされる数で、 11 で割った余りが 1 となる最小の k を求める。1次不定方程式
   クケコ  k – 11 l = 1
と解くと、k>0となる整数解 ( k , l ) のうち k が最小のものは
  k =  サ  , l =  シスセ 
である。

 

(4) \sqrt{11}が 11 で割ると 1 余る自然数となるとき、そのような自然数 m のなかで最小のものは  ソタチツ である。

解答

アイウエオ

 756 を 2 で割れるだけ割り、割れなくなったら 3 で割れるだけ割る。このように因数分解して、
  a = 22・337
となる。

【約数の個数と和】
 自然数 N が N = paqb…rc と因数分解できるとき、約数の個数は、
  ( a + 1 ) ( b + 1 ) … ( c + 1 )個
であり、その約数の総和は、
  ( 1 + p + … + pa ) ( 1 + q + … + qb ) … ( 1 + r + … + rc )
となる。

約数の個数は公式より、
  ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 24個である

カキ

 いま、\sqrt{a}

\[ \sqrt{a} = 2 \cdot 3 \sqrt{3 \cdot 7} \]

であるから、\sqrt{m}=\sqrt{21}をかければ、\sqrt{am}は自然数となる。よって、最小の m = 21 である。

カキクケコ

 この設問はよくわかりづらいが、ここでは問題文にある通りにとけばよい。実はあとで使用するのである。
 m = 21k2 と表わされる数だとすれば、

\[ \sqrt{am} = 6 \sqrt{21} \times \sqrt{21k^2} = \bm{126}k \]

となる。
 ここで、 m = 21k2\sqrt{am}が整数になる条件である。

サシスセ

 与えられた不定方程式
  126k – 11l = 1
を解く。この手の不定方程式は特殊解を見つける必要があるが、簡単には見つからないので強引に作りに行く。
  126・1 – 11・11 = 5 …(a)
だから、
  5×126k – 5×11l = 5 …(b)
と置いて、(b) – (a) をすると、
  126 ( 5k – 1 ) – 11 ( 5l – 11 ) = 0 …(c)
が成り立つ。126と11は互いに素であるから、
  5k – 1 と 11 が共通因数を持つような k を求めればよい。最も小さい k は k = 9 のとき 5k – 1 = 44 となり、11と共通因数をもつ。
 k = 9 とすると、(c)式より、
  126 × 44 – 11 ( 5l – 11 ) = 0
を満たす l は、
  5l – 11 = 126×4
であるから、 l = 103 となり、これは元の不等式を満たす。よって、 k が最も小さい解は、 k = 9 , l = 103 である。

<別解>
 解答の形から、kは一桁と分かっているので、小さい方から k に整数を当てはめて考える。

  • k = 1 のとき、 126 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
  • k = 2 のとき、 252 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
  • k = 3 のとき、 378 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
  • k = 4 のとき、 504 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
  • k = 5 のとき、 630 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
  • k = 6 のとき、 756 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
  • k = 7 のとき、 882 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
  • k = 8 のとき、 1008 – 11l = 1 を満たす整数 l は存在しない
  • k = 9 のとき、 1134 – 11l = 1 を満たす整数 l は、l =103 である。

 以上より、求める k = 9 , l = 103 と分かる。

ソタチツ

 クケコの設問により、\sqrt{am}が整数となるためには、m = 21k2 が必要であった。よって、いま m = 21k2 とおく。
 この前提で、同様に 11 で割った時に 1 余るという条件から式を立てると、

\[ \sqrt{am} - 11l = 1 \]

となり、 m = 21k2 より、\sqrt{am} = 126kであるから、
  126k – 11l = 1
となる。
 この不定方程式の解のうち、 k が最も小さくなるものは k = 9 であったから、題意を満たす m は、
  m = 21k2 = 21×92 = 1701
である。