2015年センター数学IA 第6問

第6問

　方べきの定理より、
　　CE・CB = CA・CD = 5×2 = 10
であり、 $\text{CE} = 2\sqrt{5}$ より、

$\text{BE} = \text{CE} - \text{BC} = \bm{\sqrt{5}}$

である。

　いま、EB : BC = 1 : 1 より、線分 AB は △AEC の中線となる。三角形の重心は中線上にあり、かつ中線を頂点から 2 : 1 に分ける点になるので、

$\text{AG} = 5 \times \frac{2}{3} = \bm{ \frac{10}{3}}$

である。

　メネラウスの定理より、

$\frac{\text{EB}}{\text{BC}} \times \frac{\text{CA}}{\text{AD}} \times \frac{\text{DP}}{\text{PE}} = 1$

が成り立つので、ここに各辺の長さを代入して、

$\frac{\text{DP}}{\text{PE}} = \bm{\frac{3}{5}}$

　問題文にある通り、∠CAB = ∠CED と ∠Cが共通であることから、△ABCと△ECDは相似であり、いずれも二等辺三角形。よって、

$\text{ED} = \text{EC} = \bm{2\sqrt{5}}$

である。

$\text{EP} = \text{DE} \times \frac{5}{8} = \frac{2\sqrt{5} \times 5}{8} = \bm{\frac{5\sqrt{5}}{4}}$

である。