第4問
同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて、図のような掲示板を作り、壁に固定する。赤色、緑色、青色のペンキを用いて、隣り合う正方形同士が異なる色となるように、この掲示板を塗り分ける。ただし、塗り分ける際には、3色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく、2色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする。
![\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \qquad\rule{0pt}{6ex} & \qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\ \hline \end{array} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-953b8ddefe0b2fc8d78c0791e6ac4f94_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(1) このような塗り方は、全部で アイ 通りある。
(2) 塗り方が左右対称となるのは、 ウエ 通りある。
(3) 青色と緑色の2色だけで塗り分けるのは、 オ 通りある。
(4) 赤色に塗られる正方形が 3枚であるのは カ 通りある。
(5) 赤色に塗られる正方形が1枚である場合について考える。
- どちらかの端の1枚が赤色に塗られるのは、 キ 通りある。
- 端以外の1枚が赤色に塗られるのは クケ 通りある。
よって、赤色に塗られる正方形が1枚であるのは、 コサ 通りある。
(6) 赤色に塗られる正方形が2枚であるのは、 シス 通りある。
解答
アイ
以下、左から塗る色を決めていくものとする。
左端は好きな色を選べるので3通り、それ以降、隣は左側と違う色を選ぶので 2 通り。よって、
3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 48 通り
ウエ
左右対称になるということは、左から中央の3マスに好きな色を塗れば、右側の残り2マスの色は自動的に決定する。上と同様に考えて、
3 × 2 × 2 = 12 通り
オ
（青と緑の）2色の場合、交互に色を塗るしかなく、はじめ（左端）の色によって異なるパターンがあるだけである。つまり、2 通りのみ。
カ
赤に塗られるマスが3マスということは、自動的に、左端、中央、右端が赤ということ。残った2マスには赤以外の2色は好きなように塗れるので、
2 × 2 = 4 通り
キ
どちらかの端が赤で、それ以外には赤を使用しない場合は、
- 左端が赤で、残りは2色を交互に使うしかなく、緑青緑青、青緑青緑の2通り。
- 右端が赤の場合も同様で2通り
なので、合計 4 通り。
クケ
端以外の1枚が赤ということは、
- ○赤×××：○は緑と青の2通り、×の部分は緑青緑、青緑青の2通りで、 2 × 2 = 4 通り
- ○○赤××：いずれも青緑、緑青の2通りなので、これも 2 × 2 = 4 通り
- ○○○赤×：「○赤×××」の場合と同じく4通り。
以上より、 12 通り。
コサ
合わせて、16 通りである。
シス
最後の問題は余事象で考える、場合が多い。
赤色の枚数は0枚から3枚しかありえない。全体の場合の数 48 通りから、これまで求めてきた 0枚、1枚、3枚となる場合の数をそれぞれ引いて、
48 – ( 2 + 16 + 4 ) = 26 通り
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