2019年 センター数学IA 第1問[3]

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a と b はともに正の実数とする。 x の2次関数
  y = x2 + ( 2a – b ) x + a2 + 1
のグラフをGとする。

(1) グラフGの頂点の座標は
  ( b チ  – a , – b2 ツ  + ab +  テ  )
である。

(2) グラフ G が点 ( -1 , 6 ) を通るとき、 b のとり得る値の最大値は  ト  であり、そのときの a の値は  ナ  である。
 b =  ト  , a =  ナ  のとき、グラフ G は2次関数 y = x2 のグラフを x 軸方向に  ニ  ヌ  、 y 軸方向に  ネノ  ハ  だけ平行移動したものである。

解答

チツテ

 平方完成して、

\begin{align*} y &= \left( x + \frac{2a-b}{2} \right)^2 - \left( \frac{2a-b}{2} \right)^2 + a^2 + 1 \\ &=\left\{ x - \left( \frac{2a-b}{2} \right) \right\}^2 - a^2 + ab - \frac{b^2}{4} + a^2 + 1  \end{align*}

となるので、頂点の座標は、\displaystyle \left( \bm{\frac{b}{2} - a , -\frac{b^2}{4} + ab + 1 } \right) となる。

トナ

 グラフGが点 ( -1 , 6 ) を通るので、 x = -1 , y = 6 を代入して、
  1 – ( 2a – b ) + a2 + 1 = 6
  a2 – 2a + b = 4
  ( a – 1 )2 + b = 5
と変形する。いま、 ( a – 1 )2 = 5 – b ≧ 0 であるから、 b ≦ 5 となる。
 よって、 b の最大値は 5 で、このとき a = 1 である。

ニヌネノハ

 a = 1 , b = 5 のとき、頂点の座標は、

\[ \left( \frac{3}{2}, -\frac{25}{4} + 5 + 1 \right) = \left( \frac{3}{2} , -\frac{1}{4} \right) \]

であるから、これは y = x2 のグラフを、 x 方向に \displaystyle \bm{\frac{3}{2}} 、 y 方向に\displaystyle \bm{\frac{-1}{4}} 平行移動したグラフである。

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