2020年センター数学IIB 第2問

問題

　a > 0 とし、 f ( x ) = x² – ( 4a – 2 ) x + 4a² + 1 とおく。座標平面上で、放物線 y = x² + 2x + 1 をC、放物線 y = f ( x ) を D とする。また、 l を C と D の両方に接する直線とする。

(1)　lの方程式を求めよう。
　lとCは点 ( t , t² + 2t + 1 ) において接するとすると、 l の方程式は
　　y = ( 　ア　 t + 　イ　 ) x – t² + 　ウ　……①
である。また、 l と D は点 ( s , f ( s ) ) において接するとすると、 l の方程式は
　　y = ( 　エ　 s – 　オ　 a + 　カ　 ) x – s² + 　キ　 a² + 　ク　……②
である。ここで、①と②は同じ直線を表しているので、 t = 　ケ　 , s = 　コ　 a が成り立つ。
　したがって、 l の方程式は y = 　サ　 x + 　シ　である。

(2)　二つの放物線 C , D の交点の x 座標は　ス　である。
　Cと直線l , および直線 x = 　ス　で囲まれた図形の面積を S とすると、 S = a^セ　ソ　である。

(3)　a ≧ 12 とする。二つの放物線 C , D と直線 l で囲まれた図形の中で 0 ≦ x ≦ 1 を満たす部分の面積 T は a > 　タ　のとき、 a の値によらず
　　T = 　チ　　ツ　
であり、 12 ≦ a ≦ 　タ　のとき
　　T = – 　テ　 a³ + 　ト　 a² – 　ナ　 a + 　ニ　　ヌ　
である。

(4)　次に、(2)、(3)で定めた S , T に対して、 U = 2T – 3S とおく。 a が 12 ≦ a ≦ 　タ　の範囲を動くとき、 U は a = 　ネ　　ノ　で最大値　ハ　　ヒフ　をとる。

解答

アイウ

　接線の公式を用いて計算する。放物線 y = x² + 2x + 1 について、
　　y’ = 2x + 2
であるから、x = t における接線は、
　　y = ( 2t + 2 ) ( x – t ) + t² + 2t + 1
　　　= ( 2t + 2 ) x – t² + 1
である。

エオカキク

　同様に、
　　f ‘ ( x ) = 2x – 4a + 2
であるから、放物線Dの x = s における接線は、
　　y = ( 2s – 4a + 2 ) ( x – s ) + s² – ( 4a – 2 ) s + 4a² + 1
　　　= ( 2s – 4a + 2 ) x – s² + 4a² + 1
である。

ケコサシ

　この2つの接線①、②が同じものを指していることから、係数を比較して、
　　2t + 2 = 2s – 4a + 2……①’
　　-t² + 1 = -s² +4a² + 1……②’
となる。この連立方程式を解く。
　①’より、 2a = s – t より、辺々2乗して
　　4a² = ( s – t )²
を②’に代入して、
　　s² – t² = ( s – t )²
　　-2t² + 2st = 0
となる。
　ここで t ≠ 0 と仮定して両辺 t で割ると、
　　-t + s = 0　すなわち t = s となるが、このときは 2a = s – t = 0 となり不適。
　よって、 t = 0 であり、このとき s = 2a となる。
　これを①に代入して、接線 l の方程式は、
　　y = 2x + 1
となる。

ス

　交点の座標は、連立方程式の解として求められるので、
　　x² – ( 4a – 2 ) x + 4a² + 1 = x² + 2x + 1
　　4a² – ( 4a – 2 ) x = 2x
　　a² – ax = 0
a ≠ 0 であるから、
　　x – a = 0　すなわち x = a である。

セソ

　面積を求めるときは簡単な図形を書いて考えること。
　求める面積 S は、

$\begin{align*} S &= \int_0^a \{ ( x^2+2x+1) - (2x+1) \}dx \\ &=\int_0^a x^2 dx \\ &=\left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^a = \frac{a^\bm{3}}{\bm{3}} \end{align*}$

となる。

タチツ

　積分範囲が、2つの放物線の交点より右か左かで、面積を求める式が変わることに着目する。
　a < 1 のとき（すなわち a > 1 ）、

$T = \int_0^1 x^2 dx = \bm{\frac{1}{3}}$

である。

テトナニヌ

　a ≦ 1 のとき、

$\begin{align*} T &= \int_0^a x^2 dx + \int_a^1 (x^2-4ax +4a^2 ) dx \\ &=\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{3}(1^3 -a^3) - 2a ( 1^2 -a^2 ) + 4a^2(1-a) \\ &=\frac{1}{3} - 2a(1-a^2) + 4a^2(1-a) \\ &= -\bm{2}a^3 + \bm{4}a^2 - \bm{2}a + \bm{\frac{1}{3}} \end{align*}$