2020年 センター数学IIB 第2問

問題

 a > 0 とし、 f ( x ) = x2 – ( 4a – 2 ) x + 4a2 + 1 とおく。座標平面上で、放物線 y = x2 + 2x + 1 をC、放物線 y = f ( x ) を D とする。また、 l を C と D の両方に接する直線とする。

(1) lの方程式を求めよう。
 lとCは点 ( t , t2 + 2t + 1 ) において接するとすると、 l の方程式は
  y = (  ア  t +  イ  ) x – t2 +  ウ ……①
である。また、 l と D は点 ( s , f ( s ) ) において接するとすると、 l の方程式は
  y = (  エ  s –  オ  a +  カ  ) x – s2 +  キ  a2 +  ク ……②
である。ここで、①と②は同じ直線を表しているので、 t =  ケ  , s =  コ  a が成り立つ。
 したがって、 l の方程式は y =  サ  x +  シ  である。

(2) 二つの放物線 C , D の交点の x 座標は  ス  である。
 Cと直線l , および直線 x =  ス  で囲まれた図形の面積を S とすると、 S = a ソ  である。

(3) a ≧ 12 とする。二つの放物線 C , D と直線 l で囲まれた図形の中で 0 ≦ x ≦ 1 を満たす部分の面積 T は a >  タ  のとき、 a の値によらず
  T =  チ  ツ 
であり、 12 ≦ a ≦  タ  のとき
  T = –  テ  a3 +  ト  a2 ナ  a +  ニ  ヌ 
である。

(4) 次に、(2)、(3)で定めた S , T に対して、 U = 2T – 3S とおく。 a が 12 ≦ a ≦  タ  の範囲を動くとき、 U は a =  ネ  ノ  で最大値  ハ  ヒフ  をとる。

解答

アイウ

 接線の公式を用いて計算する。放物線 y = x2 + 2x + 1 について、
  y’ = 2x + 2
であるから、x = t における接線は、
  y = ( 2t + 2 ) ( x – t ) + t2 + 2t + 1
   = ( 2t + 2 ) x – t2 + 1
である。

エオカキク

 同様に、
  f ‘ ( x ) = 2x – 4a + 2
であるから、放物線Dの x = s における接線は、
  y = ( 2s – 4a + 2 ) ( x – s ) + s2 – ( 4a – 2 ) s + 4a2 + 1
   = ( 2s – 4a + 2 ) x – s2 + 4a2 + 1
である。

ケコサシ

 この2つの接線①、②が同じものを指していることから、係数を比較して、
  2t + 2 = 2s – 4a + 2……①’
  -t2 + 1 = -s2 +4a2 + 1……②’
となる。この連立方程式を解く。
 ①’より、 2a = s – t より、辺々2乗して
  4a2 = ( s – t )2
を②’に代入して、
  s2 – t2 = ( s – t )2
  -2t2 + 2st = 0
となる。
 ここで t ≠ 0 と仮定して両辺 t で割ると、
  -t + s = 0 すなわち t = s となるが、このときは 2a = s – t = 0 となり不適。
 よって、 t = 0 であり、このとき s = 2a となる。
 これを①に代入して、接線 l の方程式は、
  y = 2x + 1
となる。

 交点の座標は、連立方程式の解として求められるので、
  x2 – ( 4a – 2 ) x + 4a2 + 1 = x2 + 2x + 1
  4a2 – ( 4a – 2 ) x = 2x
  a2 – ax = 0
a ≠ 0 であるから、
  x – a = 0 すなわち x = a である。

セソ

 面積を求めるときは簡単な図形を書いて考えること。
 求める面積 S は、

    \begin{align*} S &= \int_0^a \{ ( x^2+2x+1) - (2x+1) \}dx \\ &=\int_0^a x^2 dx \\ &=\left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^a = \frac{a^\bm{3}}{\bm{3}} \end{align*}

となる。

タチツ

 積分範囲が、2つの放物線の交点より右か左かで、面積を求める式が変わることに着目する。
 a < 1 のとき(すなわち a > 1 )、

    \[ T = \int_0^1 x^2 dx = \bm{\frac{1}{3}} \]

である。

テトナニヌ

 a ≦ 1 のとき、

    \begin{align*} T &= \int_0^a x^2 dx + \int_a^1 (x^2-4ax +4a^2 ) dx \\ &=\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{3}(1^3 -a^3) - 2a ( 1^2 -a^2 ) + 4a^2(1-a) \\ &=\frac{1}{3} - 2a(1-a^2) + 4a^2(1-a) \\ &= -\bm{2}a^3 + \bm{4}a^2 - \bm{2}a + \bm{\frac{1}{3}} \end{align*}

ネノハヒフ

 最後は計算するだけです。

    \begin{align*} U &= 2T - 3S \\ &= -4a^3 +8a^2 -4a + \frac{2}{3} - a^3\\ &= -5a^3 +8a^2 -4a + \frac{2}{3} \end{align*}

であるから、これを a で微分した

    \[ U' = -15a^2 + 16a -4 = 0 \]

を解いて、\displaystyle a = \frac{2}{5} , \frac{2}{3}である。
 \displaystyle \frac{1}{2} \leqq x \leqq 1であることから、最大値は a = 23 のときに取り、その値は、

    \[ U = -5 \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 8 \left( \frac{2}{3} \right)^2 -4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \bm{\frac{2}{27}} \]

である。

2020年センター数学IIB

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