2016年 センター数学IIB 第2問

2016年 センター数学IIB
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第2問

解答

アイウエオカキ

 まずは大体のグラフを書いて考えましょう(図は後で追加します。)
 C1が上に、C2が下にあるので、求める面積Sは、

\begin{align*} S &= \int_a^{a+1} \left\{ \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \right) -\frac{1}{4}x^2 \right\} dx \\ &= \int_a^{a+1} \left( \frac{1}{\bm{4}}x^2 + \frac{1}{\bm{2}} \right) dx \\ &=\left[ \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x \right]_a^{a+1} \\ &=\frac{1}{12} \{ (a+1)^3 -a^3 \} + \frac{1}{2} \{ (a+1) -a \} \\ &=\frac{1}{\bm{4}} a^2 + \frac{1}{\bm{4}} a + \bm{\frac{7}{12}} \end{align*}

となる。これを平方完成すると、

\[ S = \frac{1}{4} \left( a +\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{25}{48} \]

となることから、\displaystyle a = \bm{- \frac{1}{2}}のとき、最小値 \displaystyle \bm{ \frac{25}{48}}をとる。

ソタチ

 置いていかれないように、問題文をしっかり読んで、題意を把握します。
 ただし、ソとタは問題文のところだけを読めば解けます。
 
 y = 1 と C1 は、

\[ \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} = 1 \]

を解いて、 x = ±1 で交わる。同様に、 y = 1 と C2 は、

\[ \frac{1}{4}x^2 = 1 \]

を解いて、 x = ±2 で交わる。
 
 このことから、 a > 2においては正方形Rと図形Dはまったく交わらなくなることがわかる。つまり、 0 ≦ a ≦ 2 のとき、RとDは空集合にならないといえる。

 次に、1 ≦ a ≦ 2 のときを考える。正方形Rは C1 よりは完全に下で、かつ C2 によって一部切り取られている位置にある。よって、 a が増加するとき、Tは①減少する

テト

 0 ≦ a ≦ 1 のとき、図形Dのうち、正方形Rの外側にある部分の面積Uは、

\begin{align*} U &= \int_1^{a+1} \left\{ \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \right) -1 \right\} dx \\ &=\left[ \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x \right]_1^{a+1} \\ &=\frac{1}{6}\{ (a+1)^3 -1 \} - \frac{1}{2} \\ &=\frac{1}{\bm{6}}a^3 + \frac{1}{\bm{2}}a^2 \end{align*}

ナニヌ

 求めるTは、T = S – U で与えられる。よって、

\begin{align*} T &= \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}a + \frac{7}{12} - \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2 \\ &=-\frac{1}{\bm{6}}a^3 - \frac{1}{\bm{4}}a^2 + \frac{1}{\bm{4}}  +\frac{7}{12}  \end{align*}

となる。

ネノハヒ

 最後に、①の右辺を a で微分して増減を考える。

\begin{align*} T' &= -\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4} \\ &=-\frac{1}{4}(2a^2 + 2a - 1) \end{align*}

となる。ここで、 2a2 + 2a – 1 = 0 を解いて、a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}となるから、増減表は以下のとおり(省略)。
 増減表より、Tは \displaystyle a = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}のとき最大値をとることがわかる。

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