2016年センター数学IIB 第2問

2016年センター数学IIB
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第2問

解答

アイウエオカキ

　まずは大体のグラフを書いて考えましょう（図は後で追加します。）
　C₁が上に、C₂が下にあるので、求める面積Sは、

$\begin{align*} S &= \int_a^{a+1} \left\{ \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \right) -\frac{1}{4}x^2 \right\} dx \\ &= \int_a^{a+1} \left( \frac{1}{\bm{4}}x^2 + \frac{1}{\bm{2}} \right) dx \\ &=\left[ \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x \right]_a^{a+1} \\ &=\frac{1}{12} \{ (a+1)^3 -a^3 \} + \frac{1}{2} \{ (a+1) -a \} \\ &=\frac{1}{\bm{4}} a^2 + \frac{1}{\bm{4}} a + \bm{\frac{7}{12}} \end{align*}$

となる。これを平方完成すると、

$S = \frac{1}{4} \left( a +\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{25}{48}$

となることから、 $\displaystyle a = \bm{- \frac{1}{2}}$ のとき、最小値 $\displaystyle \bm{ \frac{25}{48}}$ をとる。

ソタチ

　置いていかれないように、問題文をしっかり読んで、題意を把握します。
　ただし、ソとタは問題文のところだけを読めば解けます。
　
　y = 1 と C₁ は、

$\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} = 1$

を解いて、 x = ±1 で交わる。同様に、 y = 1 と C₂ は、

$\frac{1}{4}x^2 = 1$

を解いて、 x = ±2 で交わる。
　
　このことから、 $a > 2$ においては正方形Rと図形Dはまったく交わらなくなることがわかる。つまり、 0 ≦ a ≦ 2 のとき、RとDは空集合にならないといえる。

ツ

　次に、1 ≦ a ≦ 2 のときを考える。正方形Rは C₁ よりは完全に下で、かつ C₂ によって一部切り取られている位置にある。よって、 a が増加するとき、Tは①減少する。

テト

　0 ≦ a ≦ 1 のとき、図形Dのうち、正方形Rの外側にある部分の面積Uは、

$\begin{align*} U &= \int_1^{a+1} \left\{ \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \right) -1 \right\} dx \\ &=\left[ \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x \right]_1^{a+1} \\ &=\frac{1}{6}\{ (a+1)^3 -1 \} - \frac{1}{2} \\ &=\frac{1}{\bm{6}}a^3 + \frac{1}{\bm{2}}a^2 \end{align*}$

ナニヌ

　求めるTは、T = S – U で与えられる。よって、

$\begin{align*} T &= \frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}a + \frac{7}{12} - \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2 \\ &=-\frac{1}{\bm{6}}a^3 - \frac{1}{\bm{4}}a^2 + \frac{1}{\bm{4}} +\frac{7}{12} \end{align*}$

となる。

ネノハヒ

　最後に、①の右辺を a で微分して増減を考える。

$\begin{align*} T' &= -\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4} \\ &=-\frac{1}{4}(2a^2 + 2a - 1) \end{align*}$

となる。ここで、 2a² + 2a – 1 = 0 を解いて、 $a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$ となるから、増減表は以下のとおり（省略）。
　増減表より、Tは $\displaystyle a = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$ のとき最大値をとることがわかる。