2016年センター数学IIB 第1問[2]

2016年センター数学IIB
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　kを正の定数として
　　 $\displaystyle \cos^2 x - \sin^2 x + k \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) = 0$ 　……①
を満たす x について考える。

(1)　 $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす x の個数について考えよう。
　①の両辺に sin² x cos² x をかけ、2倍角の公式を用いて変形すると
　　( sin² 2x　チ　 – k ) cos 2x = 0 ……②
を得る。したがって、 k の値に関係なく、 x = π　ツ　のときはつねに①が成り立つ。
　また、 $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で 0 < sin² 2x ≦ 1 であるから、 k > 　テ　　ト　のとき、①を満たす x は π　ツ　のみである。
　一方、 0 < k < 　テ　　ト　のとき、①を満たす x の個数は　ナ　個であり、 k = 　テ　　ト　のときは　ニ　個である。

(2)　 $\displaystyle k = \frac{4}{25}$ とし、 $\displaystyle \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす x について考えよう。
　②により sin 2x = 　ヌ　　ネ　であるから
　　cos 2x = 　ノハ　　ヒ　
である。したがって、
　　cos x = √　フ　　ヘ　
である。

解答

チ

　問題文にあるように、①の両辺に sin²x cos²x をかけると、

$\sin^2 x \cos^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x) + k (\sin^2 x - \cos^2 x) = 0$

となる。問題文の式の形から、 – k がくくり出せるように変形すると、

$\begin{align*} &\sin^2 x \cos^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x) - k (\cos^2 x - \sin^2 x) = 0 \\ &( \sin^2 x \cos^2 x - k ) ( \cos^2 - \sin^2 x) = 0 \end{align*}$

となる。ここで、

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

と、 $2\sin x \cos x = \sin 2x$ より、

$\frac{\sin 2x}{2} = \sin x \cos x$

を用いて、

$\left( \frac{\sin^2 2x}{\bm{4}} - k \right) \cos 2x = 0$

を得る。

ツ

　②より、 k の値に関係なく、 cos 2x = 0 のとき、すなわち、

$2x = \frac{\pi}{2} + l \pi$

（ l は整数）のとき、無条件で①が成り立つ。
　いま、 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ であるから、 $0 < 2x < \pi$ の範囲の解を求めればよく、それは l = 0 のとき、すなわち $x = \bm{\frac{\pi}{4}}$ のときが求める答えである。

テト

　問題文にある通り、 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲では $0 < \sin^2 2x \leqq 1$ であるから、k の値が大きすぎるときには②のカッコ内は 0 にならなくなってしまう。
　カッコ内で 0 を作れるようにするためには、 $\dfrac{\sin^2 2x }{4} = k$ でなければならないが、いま、

$0 < \sin^2 2x \leqq 1 \Longleftrightarrow 0 < \frac{\sin^2 2x}{4} = k \leqq \frac{1}{4}$

であるから、 $\displaystyle k > \frac{1}{4}$ のときは、①を満たす解は $\dfrac{\pi}{4}$ のみとなる。

ナ

　つぎに、 $0 < k < \frac{1}{4}$ の範囲で、①を満たす解が何個あるか考えよう。
　 $0< 2x < \pi$ の範囲で、 $\sin^2 2x$ の値が0以上1以下の値を取るのは2か所ある。よって、カッコ内からくる解は2個。そして、この解は $x = \dfrac{\pi}{4}$ ではないので、これとは別に $x = \dfrac{\pi}{4}$ が cos 2x = 0 を満たすので、合計 3 個の解がある。