2016年 センター数学IIB 第1問[2]

2016年 センター数学IIB
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 kを正の定数として
  \displaystyle \cos^2 x - \sin^2 x + k \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) = 0 ……①
を満たす x について考える。

(1) \displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2} の範囲で①を満たす x の個数について考えよう。
 ①の両辺に sin2 x cos2 x をかけ、2倍角の公式を用いて変形すると
  ( sin2 2x チ  – k ) cos 2x = 0 ……②
を得る。したがって、 k の値に関係なく、 x = π ツ  のときはつねに①が成り立つ。
 また、 \displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2} の範囲で 0 < sin2 2x ≦ 1 であるから、 k >  テ  ト のとき、①を満たす x は π ツ  のみである。
 一方、 0 < k <  テ  ト  のとき、①を満たす x の個数は  ナ  個であり、 k =  テ  ト  のときは  ニ  個である。

(2) \displaystyle k = \frac{4}{25}とし、 \displaystyle \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} の範囲で①を満たす x について考えよう。
 ②により sin 2x =  ヌ  ネ  であるから
  cos 2x =  ノハ  ヒ 
である。したがって、
  cos x =  フ  ヘ 
である。

解答

 問題文にあるように、①の両辺に sin2x cos2x をかけると、

    \[ \sin^2 x \cos^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x) + k (\sin^2 x - \cos^2 x) = 0 \]

となる。問題文の式の形から、 – k がくくり出せるように変形すると、

    \begin{align*} &\sin^2 x \cos^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x) - k (\cos^2 x - \sin^2 x) = 0 \\ &( \sin^2 x \cos^2 x - k ) ( \cos^2 - \sin^2 x) = 0 \end{align*}

となる。ここで、

    \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \]

と、2\sin x \cos x = \sin 2xより、

    \[ \frac{\sin 2x}{2} = \sin x \cos x \]

を用いて、

    \[ \left( \frac{\sin^2 2x}{\bm{4}} - k \right) \cos 2x = 0 \]

を得る。

 ②より、 k の値に関係なく、 cos 2x = 0 のとき、すなわち、

    \[ 2x = \frac{\pi}{2} + l \pi \]

( l は整数)のとき、無条件で①が成り立つ。
 いま、 0 < x < \dfrac{\pi}{2}であるから、0 < 2x < \piの範囲の解を求めればよく、それは l = 0 のとき、すなわち x = \bm{\frac{\pi}{4}}のときが求める答えである。

テト

 問題文にある通り、 0 < x < \dfrac{\pi}{2}の範囲では 0 < \sin^2 2x \leqq 1であるから、k の値が大きすぎるときには②のカッコ内は 0 にならなくなってしまう。
 カッコ内で 0 を作れるようにするためには、\dfrac{\sin^2 2x }{4} = kでなければならないが、いま、

    \[ 0 < \sin^2 2x \leqq 1 \Longleftrightarrow 0 < \frac{\sin^2 2x}{4} = k \leqq \frac{1}{4} \]

であるから、\displaystyle k > \frac{1}{4}のときは、①を満たす解は \dfrac{\pi}{4}のみとなる。

 つぎに、 0 < k < \frac{1}{4}の範囲で、①を満たす解が何個あるか考えよう。
 0< 2x < \piの範囲で、\sin^2 2xの値が0以上1以下の値を取るのは2か所ある。よって、カッコ内からくる解は2個。そして、この解は x = \dfrac{\pi}{4} ではないので、これとは別に x = \dfrac{\pi}{4}が cos 2x = 0 を満たすので、合計 3 個の解がある。

 k = \dfrac{1}{4}と決まっていれば計算は簡単である。0 < 2x < \piに気をつけて、②は、

    \[ (\sin^2 2x - 1 ) \cos 2x = 0 \]

となるので、 x = \dfrac{\pi}{4}のときだけ題意を満たす。よって解の個数は 1 個である。

ヌネノハヒフヘ

 上のナニは少しややこしいが、それができなくともここを解くことは可能。
 
 k = \dfrac{4}{25}のとき、

    \[ \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{4}{25} \]

より、

    \[ \sin 2x = \bm{\frac{4}{5} } \]

である。

    \[ \cos 2x = \pm \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \pm \frac{3}{5} \]

であるが、\dfrac{\pi}{2} < 2x < \piに気をつけて、

    \[ \cos 2x = \bm{ - \frac{3}{5}} \]

となる。
 
 最後に、 cos 2x = 2 cos2 x – 1 から得られる

    \[ \cos^2 x = \frac{\cos 2x + 1}{2} = \frac{1}{5} \]

より、ここでも\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{2}より \cos x > 0 に気をつけて、

    \[ \cos x = \bm{\frac{\sqrt{5}}{5}} \]

となる。

コメント

  1. るるるっちょ より:

    チが恐らく2分のsin….になるかと….

  2. るるるっちょ より:

    あ、ミスですごめんなさいー☝︎

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