2016年センター数学IIB 第4問

2016年センター数学IIB
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　四面体OABCにおいて、 $| \overrightarrow{\text{OA}} | = 3 , | \overrightarrow{\text{OB}} | = | \overrightarrow{\text{OC}} | = 2$ 、∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 60° であるとする。また、辺OA上に点Pをとり、辺BC上に点Qをとる。以下、 $\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a} , \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b} , \overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}$ とおく。

(1)　0 ≦ s ≦ 1 , 0 ≦ t ≦ 1 であるような実数 s , t を用いて、
$\overrightarrow{\text{OP}} = s\overrightarrow{a} , \overrightarrow{\text{OQ}} = ( 1 - t) \overrightarrow{b} + t \overrightarrow{c}$ と表す。
　 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} =$ 　ア　、 $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} =$ 　イ　であることから
　　 $| \overrightarrow{\text{PQ}} |^2$ = ( 　ウ　 s – 　エ　 )² + ( 　オ　 t – 　カ　 )² + 　キ　
となる。したがって、 $| \overrightarrow{\text{PQ}} |$ が最小となるのは s = 　ク　　ケ　 , t = 　コ　　サ　のときであり、このとき $| \overrightarrow{\text{PQ}} |$ = √　シ　となる。

(2)　三角形ABCの重心をGとする。 $| \overrightarrow{\text{PQ}} |$ = √　シ　のとき、三角形GPQの面積を求めよう。
　 $\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{PQ}}$ = 　ス　から、∠APQ = 　セソ　° である。したがって、三角形APQの面積は √　タ　である。また
　　 $\overrightarrow{\text{OG}}$ = 　チ　　ツ　 $\overrightarrow{\text{OA}}$ + 　テ　　ト　 $\overrightarrow{\text{OQ}}$
であり、点 G は線分 AQ を　ナ　 : 1 に内分する点である。
　以上のことから、三角形GPQの面積は、 √　ニ　　ヌ　である。

解答

アイ

　まずは内積の定義通り、

$\begin{align*} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} &= | \overrightarrow{\text{OA}} | |\overrightarrow{\text{OB}} | \cos \angle \text{AOB } = 3 \cdot 2 \cos 60^{\circ} = \bm{3} \\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} &= 3 \cdot 2 \cos 60^{\circ} = 3 \\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} &= 2 \cdot 2 \cos 60^{\circ} = \bm{2} \\ \end{align*}$

となる。

ウエオカキクケコサシ

　問題で与えられた式を計算する。

$\begin{align*} &| \overrightarrow{\text{PQ}}|^2 \\ &=| \overrightarrow{\text{OQ}} - \overrightarrow{\text{OP}}|^2 \\ &=| (1-t) \overrightarrow{b} + t \overrightarrow{c} - s \overrightarrow{a} |^2 \\ &=(1-t)^2 |\overrightarrow{b}|^2 + t^2 |\overrightarrow{c}|^2 + s^2 |\overrightarrow{a}|^2 + 2(1-t)t \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - 2st \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - 2(1-t)s \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \\ &=4t^2 -4t + 9s^2 -6s +4 \\ &=\bm{(3s-1)^2 +(2t-1)^2 +2 } \end{align*}$

となるので、 $| \overrightarrow{\text{PQ}}|$ が最小となるのは、 $\displaystyle s = \bm{\frac{1}{3}} , t = \bm{\frac{1}{2}}$ のとき、 $| \overrightarrow{\text{PQ}}| = \bm{ \sqrt{2} }$ である。

※ここで、 $t = \dfrac{1}{2}$ であるから、Qは辺BCの中点であるということです。

3行目から4行目の展開は、

$( a + b + c )^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

を利用しています。センターのベクトルでよく出るんだ、これが。

スセソタ

$\begin{align*} \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{PQ}} &= \overrightarrow{a} \cdot \left( -\frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c} \right) \\ &= -\frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 = \bm{0} \end{align*}$