2015年センター数学IIB 第2問

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第2問

解答

アイウエ

平均変化率は公式通りで、

$\begin{align*} &\frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h)-a} \\ &= \frac{1}{h} \left\{ \frac{1}{2} (2ah +h^2) \right\} \\ &=\bm{a}+ \frac{h}{\bm{2}} \end{align*}$

となる。これより、

$f'(a) = \lim_{h \to \bm{0}} \left( a + \frac{h}{2} \right) = \bm{a}$

となる。

オカ

接線 l も公式通りで、

$\begin{align*} y &= f'(a) ( x- a) + f(a) \\ &= a(x-a) + \frac{1}{2}a^2 \\ &= \bm{a}x - \frac{1}{\bm{2}}a^2 \end{align*}$

である。

キク

この直線 l と x 軸の交点は、 y = 0 との連立方程式

$ax - \frac{1}{2}a^2 = 0$

を解いて、 $\displaystyle x = \frac{a}{2}$ であるから、交点の座標は $\displaystyle \left( \bm{\frac{a}{2}} , 0 \right)$ である。

ケコサシス

求める直線 m は、直線 l と直交することより傾きは $\displaystyle -\frac{1}{a}$ であり、今求めた交点 $\displaystyle \left( \frac{a}{2} , 0 \right)$ を通るので、

$\begin{align*} y &= -\frac{1}{a} \left( x - \frac{a}{2} \right) \\ &=\bm{-\frac{1}{a} x + \frac{1}{2}} \end{align*}$

セソ

Aの座標は、直線 m に x = 0 を代入して y = 1/2 より、A ( 0 , 1/2 ) 。
求める面積は

$\begin{align*} S&=\triangle \text{AOP} + \triangle \text{OPQ} - \triangle \text{OAQ} \\ &= \frac{a}{4} + \frac{a^3}{8} - \frac{a}{8} \\ &=\frac{a (a^2 + \bm{1})}{\bm{8}} \end{align*}$

タチツ

次に面積 T について考える。 P から x 軸におろした垂線の足を R としたとき、

$\begin{align*} T&=\triangle \text{AOP} + \triangle \text{POR} - \int_0^a \frac{1}{2}x^2 dx \\ &= \frac{a}{4} + \frac{a^3}{4} - \left[ \frac{1}{6} x^3 \right]_0^a \\ &=\frac{a}{4} + \frac{a^3}{4} - \frac{a^3}{6} \\ &=\frac{a^3+ 3a}{12} \\ &=\frac{a (a^2 + \bm{3})}{\bm{12}} \end{align*}$

である。

テトナ

ここは計算をするだけである。

$\begin{align*} S-T &= \frac{a(a^2 + 1)}{8} - \frac{a(a^2+3)}{12} \\ &=\frac{a}{24} \left{ 3(a^2+1) - 2(a^2 +3) \right} \\ &=\frac{a(a^2-\bm{3})}{\bm{24}} \end{align*}$