2015年センター数学IIB 第3問

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第3問

解答

アイウエオ

　2ⁿは、
　　2, 4, 8, 16, 32, …
と増えていくので、その一の位の数を取った数列 { a_n } は、
　　a₁ = 2,
　　a₂ = 4,
　　a₃ = 8,
　　a₄ = 6,
　　a₅ = 2,
となる。周期が 4 で繰り返される循環数列であるから、
　　a_n+4 = a_n
が成り立つ。

カ

　問題文にある通り、?を繰り返し用いることで、

$\begin{align*} b_{n+4} &= \frac{a_{n+3}}{4} b_{n+3} \\ &= \frac{a_{n+3}}{4} \cdot \frac{a_{n+2}}{4} b_{n+2} \\ &= \frac{a_{n+3}}{4} \cdot \frac{a_{n+2}}{4} \cdot \frac{a_{n+1}}{4} b_{n+1} \\ &= \frac{a_{n+3}}{4} \cdot \frac{a_{n+2}}{4} \cdot \frac{a_{n+1}}{4} \cdot \frac{a_n}{4} b_n \\ &= \frac{a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_n}{2^{\bm{8}}} b_n \end{align*}$

となる。

キ

　ここは数学的な勘を働かせないと（教科書通りでは）難しい。
　いま、{ a_n } は周期 4 の循環数列なので、連続する4項の積は、どの連続する4項でも同じである。よって、
　　a_n+3 a_n+2 a_n+1 a_n
　　=a₄ a₃ a₂ a₁
　　=2・4・8・6
　　=3・2⁷
となる。

クケ

　これを代入して、

$b_{n+4} = \frac{3 \cdot 2^7}{2^8} b_n = \bm{\frac{3}{2}} b_n$

が成り立つ。

コサシスセソ

　いま見たように、数列 { b_k } は、

$b_{k+4} = \frac{3}{2} b_k$

を満たし、またその初めの4項は、

$b_1 = 1, b_2 = \frac{1}{2} , b_3 = \frac{1}{2} , b_4 = 1$

である。

　ここで、たとえば { b_4k-3 } は、 b₁, b₅, b₉, … という数列であり、これは初項 b₁ = 1 、公比 $\displaystyle \frac{3}{2}$ の等比数列である。よってその一般項は、

$b_{4k-3} = 1 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{k-1} = \left( \bm{\frac{3}{2}} \right)^{k-1}$

となる。
　同様に、{ b_4k-2 }は初項 $\displaystyle b_2 = \frac{1}{2}$ 、公比 $\displaystyle \frac{3}{2}$ の等比数列だから、

$b_{4k-2} = \bm{ \frac{1}{2}} \left( \frac{3}{2} \right)^{k-1}$

であり、{ b_4k-1 }は初項 $\displaystyle b_3 = \frac{1}{2}$ 、公比 $\displaystyle \frac{3}{2}$ の等比数列だから、

$b_{4k-1} = \bm{ \frac{1}{2}} \left( \frac{3}{2} \right)^{k-1}$

となり、{ b_4k }は初項 $b_4 = 1$ 、公比 $\displaystyle \frac{3}{2}$ の等比数列だから、

$b_{4k-1} = \left( \frac{3}{2} \right)^{k-1}$

となる。

タチ

　いま、

$\begin{align*} c_1 &= b_1 + b_2 + b_3 + b_4 ,\\ c_2 &= b_5 + b_6 + b_7 + b_8 , \\ &\cdots ,\\ c_k &= b_{4k-3} + b_{4k-2} + b_{4k-1} + b_{4k} \end{align*}$

のようにおくと、求める値は、

$\begin{align*} S_{4m} &= (b_1 + b_2 + b_3 + b_4 ) + \cdots + b_{4m-1} + b_{4m} \\ &=c_1 + c_2 + \cdots + c_m \end{align*}$

となる。いま、

$c_1 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 3$

であり、

$\begin{align*} c_2 &= 1 \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot \frac{3}{2} \\ &= \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 \right) \times \frac{3}{2} \\ &= \frac{3}{2} c_1 \end{align*}$

であり、同様に考えて、

$c_{i+1} = \frac{3}{2}　c_i , \quad c_1 = 3$

が成り立つことがわかる。

以上より、求める値は、初項 $c_1 = 3$ 、公比 $\displaystyle \frac{3}{2}$ の等比数列の初項から第 m 項までの和であるから、公式より、

$\begin{align*} S_{4m} &= \frac{\frac{3}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{3}{2}\right)^m \right\} }{1 - \frac{3}{2}} \\ &=\frac{\frac{3}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{3}{2}\right)^m \right\}}{-\frac{1}{2}} \\ &=-3 \left\{ 1 - \left( \frac{3}{2}\right)^m \right\} \\ &=\bm{ 3} \left( \frac{3}{2}\right)^m - \bm{3} \end{align*}$

となる。

ツテ

　同様に、

$d_i = b_{4i-3} b_{4i-2} b_{4i-1} b_{4i}$

とおくと、

$d_1 = b_1 b_2 b_3 b_4 = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

であり、

$d_2 = b_5 b_6 b_7 b_8 = \left( b_1 \times \frac{3}{2} \right) \cdot \left( b_2 \times \frac{3}{2} \right) \cdot \left( b_3 \times \frac{3}{2} \right) \cdot \left( b_4 \times \frac{3}{2} \right) = d_1 \times \left( \frac{3}{2} \right)^4$

となり、同様に、

$d_{i+1} = d_i \times \left( \frac{3}{2} \right)^4$

であるから、

$d_i = \frac{1}{4} \left\{ \left( \frac{3}{2} \right)^4 \right\}^{i-1}$

が成り立つ。よって、

$b_{4k-3} b_{4k-2} b_{4k-1} b_{4k} = d_k = \frac{1}{\bm{4}} \left( \frac{3}{2} \right)^{\bm{4}(k-1)}$

となる。

トナ

　求める値は、

$\begin{align*} T_{4m} &= d_1 \times d_2 \times \cdots \times d_m \\ &=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^4 \times \cdots \times \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2} \right)^{4(m-1)} \end{align*}$

である。この積について、

$\displaystyle \frac{1}{4}$ は m 個含まれる
$\displaystyle \frac{3}{2}$ は、 $0 + 4 + \cdots + 4(m-1)$ 個含まれる。
ここで、この個数は初項 0 、末項 4(m-1) 、項数 m の等差数列の和であるから、

$m \times \frac{4m-4}{2} = 2m^2 - 2m$

である。

よって、

$T_{4m} = \frac{1}{4^m} \times \left( \frac{3}{2} \right)^{\bm{2}m^2-\bm{2}m}$

となる。

ニヌネ

　 $T_{10}$ を求める。問題文にあるように $m$ は自然数だったので、先ほどの式に $m = \frac{10}{4}$ を代入するわけにも行かないので、地道に計算する。

$\begin{align*} T_{10} &= d_1 \times d_2 \times b_9 \times b_10 \\ &=\frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} \right)^4 \right) \times \left( b_1 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \right) \times \left( b_2 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \right) \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3^4}{2^4} \times \frac{3^2}{2^2} \times \frac{3^2}{2^3} \\ &= \frac{3^{\bm{8}}}{2^{\bm{13}}} \end{align*}$