2016年センター数学IA 第1問[1]

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　a を実数とする。 x の関数
　　f ( x ) = ( 1 + 2a ) ( 1 – x ) + ( 2 – a ) x
を考える。
　　f ( x ) = ( – 　ア　 a + 　イ　 ) x + 2a + 1
である。

(1)　0 ≦ x ≦ 1 における f ( x ) の最小値は、
　　a ≦ 　イ　　ア　のとき、　ウ　 a + 　エ　であり、
　　a > 　イ　　ア　のとき、　オ　 a + 　カ　である。

(2)　0 ≦ x ≦ 1 において、常に $\displaystyle f(x) \geqq \frac{2(a+2)}{3}$ となる a の値の範囲は、

である。

解答

アイ

　f ( x ) = ( 1 + 2a ) ( 1 – x ) + ( 2 – a ) x
　　　　　= 1 + 2a + ( -1 – 2a + 2 – a ) x
　　　　　= ( -3a + 1 ) x + 2a +1

ウエオカ

　1次関数は、傾きが正なら x が大きいほど値も大きくなる。傾きが負なら x が大きいほど値は小さくなる。よって、

-3a + 1 > 0 のとき、最小値は f ( 0 ) = 2a + 1
-3a + 1 < 0 のとき、最小値は f ( 1 ) = -3a + 1 + 2a + 1 = -a +2

である。 a = 0 のときは1つ目の場合分けに入れて良いので、まとめると、
　　 $\displaystyle a \leqq \frac{1}{3}$ のとき、最小値は 2a + 1
　　 $\displaystyle a > \frac{1}{3}$ のとき、最小値は -a + 2
となる。

キクケコ

　つねに、関数の最小値が $\displaystyle \frac{2(a+2)}{3}$ 以上であればよい。
　
　 $\displaystyle a \leqq \frac{1}{3}$ のときは、 $\displaystyle 2a+1 \geqq \frac{2(a+2)}{3}$ を満たせば良い。これを解いて、
　　 $\displaystyle a \geqq \frac{1}{4}$
となるから、初めに指定した範囲と合わせて、
　　 $\displaystyle \frac{1}{4} \leqq a \leqq \frac{1}{3}$
となる。
　
　つぎに、 $\displaystyle a > \frac{1}{3}$ のときは、 $\displaystyle -a +2 \geqq \frac{2(a+2)}{3}$ を満たせばよく、これを解いて、
　　 $\displaystyle a \leqq \frac{2}{5}$
となるから、
　　 $\displaystyle \frac{1}{3} < a \leqq \frac{2}{5}$
となる。
　
　これらの範囲を合わせて、求める答えは、
　　 $\displaystyle \bm{ \frac{1}{4} } \leqq a \leqq \bm{ \frac{2}{5} }$
である。