2016年 センター数学IA 第1問[2]

2016年 センター数学IA
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 次の問に答えよ。必要ならば、\sqrt{7}が無理数であることを用いてもよい。

(1) Aを有理数全体の集合、Bを無理数全体の集合とする。空集合をΦと表す。
 次の(i)~(iv)が真の命題になるように、 サ  セ に当てはまるものを、次の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。
 
 (i) A  サ  { 0 }
 (ii) \sqrt{28}  シ  B
 (iii) A = { 0 }  ス  A
 (iv) Φ = A  セ  B
 
 ⓪ ∈ ① ∋ ② ⊂ ③ ⊃ ④ ∩ ⑤ ∪ 
 
(2) 実数 x に対する条件 p , q , r を次のように定める。
 
 p : x は無理数
 q : x + \sqrt{28}は有理数
 r : \sqrt{28}x は有理数
 
 次の ソ  タ に当てはまるものを、下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。
 
 p は q であるための ソ 
 p は r であるための タ 
 
 ⓪ 必要十分条件である。
 ① 必要条件であるが、十分条件でない
 ② 十分条件であるが、必要条件でない
 ③ 必要条件でも十分条件でもない

解答

サシスセ

 { 0 } とは、0だけを含む集合。よって、 A ⊃ { 0 } 。( { 0 } ではなく、 0 であればこれは要素を表すので、 A ∋ 0 となる。)
 \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}は無理数だから、 \sqrt{28} ∈ B。
 スに当てはまるのは、∪か∩のみ。 Aと等しくなるのは、{ 0 } ∪ A 。
 有理数全体と無理数全体の共通集合は空集合となるので、 Φ = A ∩ B 。
 よって順に、③、⓪、⑤、④

ソタ

 「x が無理数 ⇒  x + \sqrt{28}は有理数」は明らかに偽。
 「x + \sqrt{28}は有理数 ⇒ x が無理数」については次のように考える。「 x + \sqrt{28}は有理数」を満たすのはx = -\sqrt{28}のときだけであるが、このとき x = -\sqrt{28} = -2\sqrt{7} は無理数なので真。
 よって、p は q であるための十分条件ではないが、必要条件。よって答えは
 
 「x が無理数 ⇒  \sqrt{28}xは有理数」は偽。
 「\sqrt{28}xは有理数 ⇒ x が無理数」については、「\sqrt{28}xは有理数」を満たすのは、 整数 n を用いてx = \sqrt{7}nのとき。ただし、 n = 0 のときは x は有理数であるから、こちらも偽。
 よって、 p は r であるための必要条件でも十分条件でもない。よって答えは