a を 1 以上の定数とし、 x についての連立不等式
x2 + ( 20 – a2 ) – 20a2 ≦ 0 ……①
x2 + 4ax ≧ 0 ……②
を考える。このとき、不等式①の解は チツテ ≦ x ≦ a2 である。また、不等式②の解は x ≦ トナ a , 二 ≦ x である。
この連立不等式を満たす負の実数が存在するような a の値の範囲は
1 ≦ a ≦ ヌ
である。
解答
チツテトナ二
①を因数分解して、
( x + 20 ) ( x – a2 ) ≦ 0
となる。いま、a2は明らかに正だから、 -20 ≦ x ≦ a2
次に、②も因数分解すると、
x ( x + 4a ) ≧ 0
となるから、この不等式の答えは、 x ≦ -4a , 0 ≦ x である。
ヌ
連立不等式を満たす負の実数が存在するということは、
-20 ≦ x ≦ -4a
を満たす1以上の実数 a の範囲を求めればよく、その最小値は 1 であり、最大値は -20 = -4a を満たすとき、すなわち 5 である。よって、
1 ≦ a ≦ 5
であればよい。
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