2016年 センター数学IA 第1問[3]

2016年 センター数学IA
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 a を 1 以上の定数とし、 x についての連立不等式
  x2 + ( 20 – a2 ) – 20a2 ≦ 0 ……①
  x2 + 4ax ≧ 0 ……②
を考える。このとき、不等式①の解は チツテ ≦ x ≦ a2 である。また、不等式②の解は x ≦  トナ  a ,  二  ≦ x である。
 この連立不等式を満たす負の実数が存在するような a の値の範囲は
  1 ≦ a ≦  ヌ 
である。

解答

チツテトナ二

 ①を因数分解して、
  ( x + 20 ) ( x – a2 ) ≦ 0
となる。いま、a2は明らかに正だから、 -20 ≦ x ≦ a2
 
 次に、②も因数分解すると、
  x ( x + 4a ) ≧ 0
となるから、この不等式の答えは、 x ≦ -4a , 0 ≦ x である。

 連立不等式を満たす負の実数が存在するということは、
  -20 ≦ x ≦ -4a
を満たす1以上の実数 a の範囲を求めればよく、その最小値は 1 であり、最大値は -20 = -4a を満たすとき、すなわち 5 である。よって、
  1 ≦ a ≦ 5
であればよい。

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