2014年センター数学IIB 第3問

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第3問

解答

アイウエオカキクケコ

階差数列が { b_n } の数列{ a_n } の一般項は、
$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

これを利用して解く。階差数列の第 n 項は 4n + 5 であるから、

$\begin{align*} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (5+4k) \\ &=6 + 5(n-1) + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot n(n-1) \\ &=\bm{2n^2 + 3n +1} \end{align*}$

である（これは n = 1 のときも成立）。

最後に、
　　a₂ = 8 + 6 + 1 = 15, a₃ = 18 + 9 + 1 = 28

サシス

与えられた式?に n = 1 を代入して、

$b_2 = \frac{a_1}{a_2 - 1} b_1 = \frac{6}{15-1} \times \frac{2}{5} = \bm{\frac{6}{35}}$

となる。

セソタ

?で n を n + 1 に置き換えた式は、
　　a_n+1 = 2 ( n + 1 )² + 3 ( n + 1 ) + 1
であるから、これと?を?に代入して、

$\begin{align*} b_{n+1} &= \frac{2n^2 + 3n + 1}{2(n+1)^2 + 3(n+1)} b_n \\ &=\frac{2n^3+3n+1}{2n^2 + 7n + 5} b_n \\ &=\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+5)(n+1)} b_n \\ &=\frac{\bm{2}n+\bm{1}}{2n+\bm{5}} b_n \end{align*}$

である。

チツ

問題文にあるように、
　　c_n = ( 2n + 1 ) b_n
とおくと、 $\displaystyle b_n = \frac{c_n}{2n+1}$ を?式に代入して、

$\begin{align*} b_{n+1} = \frac{c_{n+1}}{2n+3} = \frac{1}{2n+5} c_n \\ (2n+\bm{5} )c_{n+1} = (2n+\bm{3}) c_n \end{align*}$

である。

テ

?の右辺 ( 2n + 3 ) c_n の n を n + 1 に置き換えたものはちょうど左辺となるということは、この
　　d_n = ( 2n + 3 ) c_n
は恒等数列（すべての n に対して d_n+1 = d_n が成り立つ）であることが分かる。

ト

いま、
　　d₁ = ( 2・1 + 3 ) c₁ = 5c₁
　　c₁ = ( 2・1 + 1 ) b₁ = 3b₁
であるから、順番に計算していくと、

$d_1 = 5c_1 = 5 \cdot 3b_1 = 5 \times 3 \times \frac{2}{5} = \bm{6}$

ナニ

部分分数分解は分子＝分母の差でうまくいく
$\displaystyle \frac{\beta-\alpha}{(x+\alpha)(x+\beta)} = \frac{1}{x+\alpha} - \frac{1}{x+\beta} \qquad (\alpha < \beta)$

問題文に与えられた式を部分分数することで、

$\begin{align*} b_n &= \frac{6}{(2n+1)(2n+3))} = 3 \times \frac{2}{(2n+1)(2n+3)} \\ &=3 \times \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right) \\ &=\frac{\bm{3}}{2n+1} - \frac{\bm{3}}{2n+3} \end{align*}$

となる。

ヌネノ

この手の和は書き出したほうが見通しが良い。順に打ち消し合うことを利用して、

$\begin{align*} S_n &= b_1 + b_2 + \cdots + b_n \\ &=\left( \frac{3}{3} - \frac{3}{5} \right) + \left( \frac{3}{5} - \frac{3}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{3}{2n+1} - \frac{3}{2n+3} \right) \\ &= 1 - \frac{3}{2n+3} = \frac{\bm{2}n}{\bm{2}n+3} \end{align*}$

となる。