2014年センター数学IIB 第1問[1]

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第1問[1]

解答

アイ

平行は傾きが同じ、垂直は傾きを掛けて-1

と、

( p , q ) を通る傾き a の直線は y = a ( x – p ) + q

を使います。
　直線 l の傾きは 4/3 なので、求める直線の傾きは -3/4 である。よって、
　　 $\displaystyle y = -\bm{\frac{3}{4}}(x-p) + q$
である。

ウエ

交点は連立方程式の解

求める直線の交点は、

$\begin{cases} \displaystyle y = \frac{4}{3}x \\ \displaystyle y =-\frac{3}{4}(x-p)+q \end{cases}$

を解いた解である。これを解いて、

$(x,y) = \left( \frac{3}{25}(\bm{3}p+\bm{4}q) , \frac{4}{25}(3p+4q) \right)$

である。

オカ

点と直線の距離の公式

点と直線の距離の公式　点 ( 0 , 0 ) と直線 l : 4x – 3y = 0 の距離は、公式より、

$r = \frac{|4p-3q|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{1}{5} | \bm{4}p -\bm{3}q|$

である。

キ

　問題文にある通り、中心が ( p , q ) で x 軸に接するということは、半径 r について、
　　r = q
であるということである。これを(a)式に代入して、
　　5q = | 4p – 3q |
　　⇔　5q = 4p – 3q 　or　5q = – ( 4p – 3q )
　　⇔　8q = 4p　or　2q = -4p
ここで、 2q = -4p は p > 0 , q > 0 を満たさないので不適。よって一つ目の 8q = 4p より、
　　p = 2q

クケコサシス

　　( x – p )² + ( y – q )² = r²
に、 r = q , p = 2q , x = y = 2を代入して、
　　( 2 – 2q )² + ( 2 – q )² = q²
　　4 – 8q + 4q² + 4 – 4q + q² = q²
　　4q² – 12q + 8 = 0
　　q² – 3q + 2 = 0
　　( q – 1 ) ( q – 2 ) = 0
　　q = 1, 2
である。

(i)　q = 1 のとき p = 2より、
　　( x – 2 )² + ( y – 1 )² = 1
(ii)　q = 2 のとき p = 4 より、
　　( x – 4 )² + ( y – 2 )² = 4

セ

　問題文より、 S ( 2 , 1 ) , T ( 4 , 2 ) であるから、点Oは線分STを1 : 2 に外分する点である。