2014年 センター数学IIB 第1問[1]

第1問[1]

解答

アイ

平行は傾きが同じ、垂直は傾きを掛けて-1

と、

( p , q ) を通る傾き a の直線は y = a ( x – p ) + q

を使います。
 直線 l の傾きは 4/3 なので、求める直線の傾きは -3/4 である。よって、
  \displaystyle y = -\bm{\frac{3}{4}}(x-p) + q
である。

ウエ

交点は連立方程式の解

求める直線の交点は、

\[ \begin{cases} \displaystyle y = \frac{4}{3}x \\ \displaystyle y =-\frac{3}{4}(x-p)+q \end{cases} \]

を解いた解である。これを解いて、

\[ (x,y) = \left( \frac{3}{25}(\bm{3}p+\bm{4}q) , \frac{4}{25}(3p+4q) \right) \]

である。

オカ

点と直線の距離の公式

点と直線の距離の公式  点 ( 0 , 0 ) と 直線 l : 4x – 3y = 0 の距離は、公式より、

\[ r = \frac{|4p-3q|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{1}{5} | \bm{4}p -\bm{3}q| \]

である。

 問題文にある通り、中心が ( p , q ) で x 軸に接するということは、半径 r について、
  r = q
であるということである。これを(a)式に代入して、
  5q = | 4p – 3q |
  ⇔ 5q = 4p – 3q  or 5q = – ( 4p – 3q )
  ⇔ 8q = 4p or 2q = -4p
ここで、 2q = -4p は p > 0 , q > 0 を満たさないので不適。よって一つ目の 8q = 4p より、
  p = 2q

クケコサシス

  ( x – p )2 + ( y – q )2 = r2
に、 r = q , p = 2q , x = y = 2を代入して、
  ( 2 – 2q )2 + ( 2 – q )2 = q2
  4 – 8q + 4q2 + 4 – 4q + q2 = q2
  4q2 – 12q + 8 = 0
  q2 – 3q + 2 = 0
  ( q – 1 ) ( q – 2 ) = 0
  q = 1, 2
である。

(i) q = 1 のとき p = 2より、
  ( x – 2 )2 + ( y – 1 )2 = 1
(ii) q = 2 のとき p = 4 より、
  ( x – 4 )2 + ( y – 2 )2 = 4

 問題文より、 S ( 2 , 1 ) , T ( 4 , 2 ) であるから、点Oは線分STを1 : 2 に外分する点である。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする