第1問[1]
解答
アイ
平行は傾きが同じ、垂直は傾きを掛けて-1
と、
( p , q ) を通る傾き a の直線は y = a ( x – p ) + q
を使います。
直線 l の傾きは 4/3 なので、求める直線の傾きは -3/4 である。よって、
である。
ウエ
交点は連立方程式の解
求める直線の交点は、
![\[ \begin{cases} \displaystyle y = \frac{4}{3}x \\ \displaystyle y =-\frac{3}{4}(x-p)+q \end{cases} \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30ec767d9dc683a4f830df625163f798_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
を解いた解である。これを解いて、
![\[ (x,y) = \left( \frac{3}{25}(\bm{3}p+\bm{4}q) , \frac{4}{25}(3p+4q) \right) \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4f679b7351f6a87de18ae0fe92fc759_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
である。
オカ
点と直線の距離の公式
点と直線の距離の公式 点 ( 0 , 0 ) と 直線 l : 4x – 3y = 0 の距離は、公式より、
![\[ r = \frac{|4p-3q|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{1}{5} | \bm{4}p -\bm{3}q| \]](http://izu-mix.com/math/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-877549b7587fcf17ef3e54fa393d1cae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
である。
キ
問題文にある通り、中心が ( p , q ) で x 軸に接するということは、半径 r について、
r = q
であるということである。これを(a)式に代入して、
5q = | 4p – 3q |
⇔ 5q = 4p – 3q or 5q = – ( 4p – 3q )
⇔ 8q = 4p or 2q = -4p
ここで、 2q = -4p は p > 0 , q > 0 を満たさないので不適。よって一つ目の 8q = 4p より、
p = 2q
クケコサシス
( x – p )2 + ( y – q )2 = r2
に、 r = q , p = 2q , x = y = 2を代入して、
( 2 – 2q )2 + ( 2 – q )2 = q2
4 – 8q + 4q2 + 4 – 4q + q2 = q2
4q2 – 12q + 8 = 0
q2 – 3q + 2 = 0
( q – 1 ) ( q – 2 ) = 0
q = 1, 2
である。
(i) q = 1 のとき p = 2より、
( x – 2 )2 + ( y – 1 )2 = 1
(ii) q = 2 のとき p = 4 より、
( x – 4 )2 + ( y – 2 )2 = 4
セ
問題文より、 S ( 2 , 1 ) , T ( 4 , 2 ) であるから、点Oは線分STを1 : 2 に外分する点である。
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