2022年共通テスト数学IA 第3問

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　複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り交換会を開くただしプレゼントは全て異なるとするプレゼントの交換は次の手順で行う。

手順

　外見が同じ袋を人数分用意し、各袋をプレゼントを一つずつ入れたうえで、各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。

　交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。

(1)　2人または3人で交換会を開く場合を考える。

(i)　2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は　ア　通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は　イ　　ウ　である。

(ii)　3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は　エ　通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は　オ　　カ　である。

(iii)　3人で交換会を開く場合、4回以下の交換で交換会が終了する確率は　キク　　ケコ　である。

(2)　4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を次の構想に基づいて求めてみよう。

構想

　1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。そのために自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。

　1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参した時前と受け取る場合は　サ　通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は　シ　通りある。このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方のうち、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は　スセ　である。
　したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は　ソ　　タ　である。

(3)　5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は　チツ　　テト　である

(4)　A、B、C、D、Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA、B、C、Dがそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき、その会で交換会が終了する条件付き確率は　ナニ　　ヌネ　である。

解答

アイウ

　Aさん、Bさんがそれぞれプレゼント a , b を用意したとする。
　プレゼントの受け取り方は、 a , b の並び替え 2! = 2通りある。
　このうち、1回目で交換会が終わるのは、
　　「 A さんがプレゼント b を、 B さんがプレゼント a をもらう（これを以後、 ( A , B ) = ( a , b ) のように書く）」
ときであり、これは 1 通り。求める確率は、 12 である。

エオカ

　Cさんの用意したプレゼントを c とする。
　プレゼントの受け取り方は、3! = 6通りある。
　そのうち、交換会が終了するのは、
　　( A , B , C ) = ( b , c , a ) , ( c , a , b )
の 2 通り。よってその確率は、13 である。

キクケコ

　余事象「4回交換会が終了しない確率」を求め、1から引く。
　1回の交換で交換会が終了しないのは、先程の2通りを除いた 4 通りなので、その確率は 23 である。
　これが4回繰り返す確率は、 ( 23 )⁴ = 1681 であるから、求める確率は、
　　1 – 1681 = 6581

サシ

　「Aさんが、自分の持参したプレゼントを受け取る」とすると、B～Dさんは別の人のプレゼントを受け取るということで、それは「3人で交換会を行ったときに1回で交換会が終わる」場合の数と同じで、2通りになる。
　Bさん、Cさん、Dさんの場合も同じで、
　　2×4＝ 8 通り
である。

　次に、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合の数を考える。
　自分のプレゼントを受け取る2人の選び方は、「4人から2人選ぶ」方法で、 ₄C₂ = 6通り。
　残りの2人は別の人のプレゼントを受け取るということで、それは2人でこの交換会を行って1回で交換会が終わる場合の数と同じで1通り。よって、その事象は
　　1×6 = 6 通り
である。

スセ

　さらに同様に考えると、ちょうど3人が自分のプレゼントを受け取る場合の数は0通り、全員が自分のプレゼントを受け取る場合の数は1通りである。
　よって、1回目の交換で交換会が終了しない場合の数は、
　　8 + 6 + 1 = 15通り
である。

ソタ

　4つのプレゼントを並び替える場合の数は 4! = 24通りあるので、1回目で交換会が終了する場合の数は 24 – 15 = 9通り。
　よって求める確率は、 924 = 38

チツテト

　4人の場合の考え方を5人の場合に当てはめて解く。

　5つのプレゼントを並び替える場合の数は 5! = 120通りある。このうち、

ちょうど1人が自分のプレゼントを受け取る場合の数は、
「4人で交換して1回で交換が終わる場合の数」×「5人から1人を選ぶ場合の数」 = 9×₅C₁ = 45通り
ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合の数は、
「3人で交換して1回で交換が終わる場合の数」×「5人から2人を選ぶ場合の数」 = 2×₅C₂通り
ちょうど3人が自分のプレゼントを受け取る場合の数は、
「2人で交換して1回で交換が終わる場合の数」×「5人から3人を選ぶ場合の数」 = 1×₅C₃
ちょうど4人が自分のプレゼントを受け取る場合の数は0通り
全員が自分のプレゼントを受け取る場合の数＝1通り

である。よって、1回目の交換会で終了しない場合の数は、
　　45 + 20 + 10 + 1 = 76通り
あるので、1回で交換が終わる場合の数は、 120 – 76 = 44通りとなる。
　よって求める確率は、 44120 = 1130

ナニヌネ

　120通りのうち、A , B , C , D の4人が自分以外のプレゼントを受け取る場合というのは、

全員が別の人のプレゼントを受け取る場合（ 44 通り）
A , B , C , D の4人は別の人のだが、Eだけ自分のプレゼントを受け取る場合（9通り）

の合計53通りある。よって、求める条件付き確率は、4453 である。