実数 a , b , c が
a + b + c = 1……①
および
a2 + b2 + c2 = 13……②
を満たしているとする。
(1) ( a + b + c )2 を展開した式において、①と②を用いると
ab + bc + ca = アイ
であることがわかる。よって
( a – b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = ウエ
である。
(2) a – b = 2√5 の場合に、 ( a – b ) ( b – c ) ( c – a ) の値を求めてみよう。 b – c = x , c – a = y とおくと
x + y = オカ √5
である。また、(1)の計算から
x2 + y2 = キク
が成り立つ。これらより
( a – b ) ( b – c ) ( c – a ) = ケ √5
である。
解答
アイ
展開の公式
( a + b + c )2
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca )
に与えられた条件を代入して、
1 = 13 + 2 ( ab + bc + ca )
より、
ab + bc + ca = -6
ウエ
( a – b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2
= 2 ( a2 + b2 + c2 ) – 2 ( ab + bc + ca )
= 2・13 – 2×(-6) = 38
オカ
x + y
= ( b – c ) + ( c – a )
= b – a
= – ( a – b )
= -2√5
キク
「ウエ」の式から、
(2√5)2 + x2 + y2 = 38
すなわち、
20 + x2 + y2 = 38
より、
x2 + y2 = 18
ケ
対称式の式変形を利用して、
x2 + y2 = 18
( x + y )2 – 2xy = 18
いま、 x + y = 2√5 だから、
20 – 2xy = 18
すなわち、 xy = 1 である。
求める値は、 2√5 × xy = 2√5
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