(1) 144を素因数分解すると、
144 = 2ア × イ ウ
であり、144の正の約数の個数は エオ 個である。
(2) 不定方程式
144x – 7y = 1
の整数解 x , y の中で、 x の絶対値が最小になるのは
x = カ , y = キク
であり、すべての整数解は、 k を整数として
x = ケ k + カ , y = コサシ k + キク
と表される。
(3) 144の倍数で、7で割ったら余りが1となる自然数のうち、正の約数の個数が 18個である最小のものは 144× ス であり、正の約数の個数が30個である最小のものは 144× セソ である。
解答
アイウエオ
144 = 24×32
であり、約数の個数は、 ( 4 + 1 ) × ( 2 + 1 ) = 15個 である。
カキクケコサシ
144 × 2 = 288 が 7 で割ると1余ることに気づけば、
144・2 – 7・41 = 1
が成り立つので、
144x – 7y = 1
144・2 – 7・41 = 1
を辺々引いて、
144 ( x – 2 ) – 7 ( y – 41 ) = 0
が成り立つ。ここで、144と7は互いに素なので、 x – 2 は因数7を持たなければならなく、
x – 2 = 7k （ k は整数）
とおける。このとき、
y – 41 = 144k
となるので、与えられた不定方程式の解は、
x = 7k + 2 , y = 144k + 41
である。また、 x の絶対値が最小となるのは k = 0 のときで、このとき、
x = 2 , y = 41 である。
スセソ
不定方程式の解より、144の倍数で 7 で割ると1余るような数は、
144 × ( 7k + 2 )
の形である。あとはしらみつぶしに確認して、
k = 0 のとき 144 × 2 = 25 × 32 : 18個……（ス）
k = 1 のとき 144 × 9 = 24 × 34 : 25個
k = 2 のとき 144 × 16 = 28 × 32 : 27個
k = 3 のとき 144 × 23 = 24 × 32 × 23 : 30個……（セソ）
と求めることができます。
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