2018年 センター数学IA 第4問

2018年 センター数学IA
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(1) 144を素因数分解すると、
  144 = 2 ×  イ 
であり、144の正の約数の個数は  エオ 個である。

(2) 不定方程式
  144x – 7y = 1
の整数解 x , y の中で、 x の絶対値が最小になるのは
  x =  カ  , y =  キク 
であり、すべての整数解は、 k を整数として
  x =  ケ  k +  カ  , y =  コサシ  k +  キク 
と表される。

(3) 144の倍数で、7で割ったら余りが1となる自然数のうち、正の約数の個数が 18個である最小のものは 144× ス であり、正の約数の個数が30個である最小のものは 144× セソ である。

解答

アイウエオ

 144 = 24×32
であり、約数の個数は、 ( 4 + 1 ) × ( 2 + 1 ) = 15個 である。

カキクケコサシ

不定方程式 ax + by = k は特殊解を見つける

 144 × 2 = 288 が 7 で割ると1余ることに気づけば、
  144・2 – 7・41 = 1
が成り立つので、
  144x – 7y = 1
  144・2 – 7・41 = 1
を辺々引いて、
  144 ( x – 2 ) – 7 ( y – 41 ) = 0
が成り立つ。ここで、144と7は互いに素なので、 x – 2 は因数7を持たなければならなく、
  x – 2 = 7k ( k は整数)
とおける。このとき、
  y – 41 = 144k
となるので、与えられた不定方程式の解は、
  x = 7k + 2 , y = 144k + 41
である。また、 x の絶対値が最小となるのは k = 0 のときで、このとき、
  x = 2 , y = 41 である。

スセソ

 不定方程式の解より、144の倍数で 7 で割ると1余るような数は、
  144 × ( 7k + 2 )
の形である。あとはしらみつぶしに確認して、
 k = 0 のとき 144 × 2 = 25 × 32 : 18個……(ス)
 k = 1 のとき 144 × 9 = 24 × 34 : 25個
 k = 2 のとき 144 × 16 = 28 × 32 : 27個
 k = 3 のとき 144 × 23 = 24 × 32 × 23 : 30個……(セソ)
と求めることができます。

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