2021年共通テスト数学IA 第1問[2]

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　右の図のように、△ABCの外側に辺AB、BC、CAをそれぞれ1辺とする正方形ADEB、BFGC、CHIAをかき、2点EとF、GとH、IとDをそれぞれ線分で結んだ図形を考える。以下において
　　BC = a , CA = b , AB = c
　　∠CAB = A, ∠ABC = B, ∠BCA = C
とする。

(1)　b = 6 , c = 5 , cos A = 35 のとき、 sin A = 　セ　　ソ　であり、△ABCの面積は　タチ　、△AIDの面積は　ツテ　である。

(2)　正方形BFGC、CHIA、ADEBの面積をそれぞれ S₁ , S₂ , S₃ とする。このとき、S₁ – S₂ – S₃ は

0° < A < 90°のとき、　ト　。
A = 90°のとき、　ナ　。
90° < A < 180°のとき、　ニ　。

　ト　～　ニ　の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

⓪　0である
①　正の値である
②　負の値である
③　正の値も負の値もとる

(3)　△AID、△BEF、△CGHの面積をそれぞれ、 T₁ , T₂ , T₃ とする。このとき、　ヌ　である。

　ヌ　の解答群

⓪　a < b < c ならば、 T₁ > T₂ > T₃
①　a < b < c ならば、 T₁ < T₂ < T₃
②　A が鈍角ならば、 T₁ < T₂ かつ T₁ < T₃
③　a , b , c の値に関係なく、 T₁ = T₂ = T₃

(4)　△ABC , △AID , △BEF , △CGH のうち、外接円の半径が最も小さいものを求める。
0° < A < 90°のとき、 ID 　ネ　 BC であり
　　（△AIDの外接円の半径）　ノ　（△ABCの外接円の半径）
であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は

0° < A < B < C < 90° のとき、　ハ　である。
0° < A < B < 90° < C のとき、　ヒ　である。

　ネ　、　ノ　の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

⓪　<　　①　=　　②　>

　ハ　、　ヒ　の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

⓪　△ABC　　①　△AID　　②　△BEF　　③　△CGH

解答

セソ

　sin A > 0 であることより、

$\sin \text{A} = \sqrt{1- \cos^2 \text{A}} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \bm{\frac{4}{5}}$

である。

タチ

　三角形の面積の公式より、
　　△ABC = 12 bc sin A = 12・6・5・45 = 12
である。

ツテ

いま、
　∠IAD = 180° – ∠BAC
より、
　sin ∠IAD = sin ∠BAC
となるので、
　△AID = AD・AI2 sin ∠IAD
　　　= AB・AC2 sin ∠BAC
　　　= △ABC
より、△AID = 12

トナニ

　まず、0° < A < 90° のとき、三角形の性質より、 a² < b² + c² である。
　よって、
　　S₁ < S₂ + S₃
すなわち、
　　S₁ – S₂ – S₃ < 0
である。よって、② 負の値である。

　同様に、A = 90° のとき、
　　a² = b² + c²
より、
　　S₁ – S₂ – S₃ = 0
となるので、⓪ 0である。

　90° < A < 180° のときは、
　　a² > b² + c²
より、
　　S₁ – S₂ – S₃ > 0
となるので、① 正の値である。

ヌ

　ツテの結果より、
　　△ABC = △AID =T₁
となったが、このときと同じ考え方から、T₂, T₃ も△ABCに等しいと言える。
　よって、答えは、③ a, b, c の値に関係なく、 T₁ = T₂ = T₃ である。

ネノ

　△AIDにおける正弦定理より、
　　ID² = 5² + 6² – 2・5・6 cos∠IAD
　△ABCにおける正弦定理より、
　　BC² = 5² + 6² – 2・5・6 cos∠BAC
となり、 0° < A < 90° のとき、 cos∠BAC > 0 , cos∠IAD < 0 であるから、
　　ID² > BC² すなわち、 ID > BC である。よって②。

きちんと式で証明すると上記のようになるが、挟む辺が同じ長さであれば、角度が大きい方が対辺は長くなることはほぼ自明なので、図形から答えを求めることも可能です。

　△ABCと△AIDの外接円の半径をそれぞれ R, R₁ とおくと、
　　2R = BCsin∠BAC
　　2R₁ = IDsin∠IAD
であり、いま分母の値は等しいので、分子の大小を比べて、
　　R₁ > R
すなわち、
　　（△AIDの外接円の半径） > （△ABCの外接円の半径）
となる。よって答えは ② 。

ハヒ

　同様に、B, C も90°より小さい範囲であれば、
　　（△BEFの外接円の半径） > （△ABCの外接円の半径）
　　（△CGHの外接円の半径） > （△ABCの外接円の半径）
が成り立つので、
　　0° < A < B < C < 90° のときは、△ABCの外接円の半径が最も小さい。よって ⓪ が正解。
　
　次に、0° < A < B < 90° < C のとき、A, B は90°より小さいので先程と同様、
　　（△AIDの外接円の半径） > （△ABCの外接円の半径）
　　（△BEFの外接円の半径） > （△ABCの外接円の半径）
が成り立つ。一方で、C > 90° であることから、AB > HG となることから、
　　（△CGHの外接円の半径） < （△ABCの外接円の半径）
となる。
　よって、外接円の半径が最も小さい三角形は、△CGHということになる。よって ③ が正解。