c を実数とする。2次関数 y = x2 のグラフを、 2点 ( c , 0 ) , ( c + 4 , 0 ) を通るように平行移動して得られるグラフを G とする。
(1) G をグラフにもつ2次関数は c を用いて
y = x2 – 2 ( c + ツ ) x + c ( c + テ )
と表せる。
2点 ( 3 , 0 ) , ( 3 , -3 ) を両端とする線分と G が共有点をもつような c の値の範囲は
ト ≦ c ≦ ナ , ニ ≦ c ≦ ヌ
である。
(2) ニ ≦ c ≦ ヌ の場合を考える。 G が点 ( 3 , -1 ) を通るとき、Gは2次関数 y = x2 のグラフを x 軸方向に ネ + √ ノ , y軸方向に ハヒ だけ平行移動したものである。また、このとき G と y 軸との交点の y 座標は、 フ + ヘ √ ホ である。
解答
ツテ
グラフGは、 x 軸上の点 ( c , 0 ) , ( c + 4 , 0 ) を通るので、
y = ( x – c ) { x – ( c + 4 ) }
と表される。これを展開して、
= x2 – 2 ( c + 2 ) x + c ( c + 4 )
である。
トナニヌ
問題の題意より、先程のグラフGを表す2次関数の式において、 x = 3 のとき -3 ≦ y ≦ 0 という意味である。
いま、x = 3 のとき、
y = 9 – 6 ( c + 2 ) + c ( c + 4 )
= c2 – 2c – 3
であるから、不等式
-3 ≦ c2 – 2c – 3 ≦ 0
を解けば良い。
左側：
-3 ≦ c2 – 2c – 3
を解くと、
c2 – 2c ≧ 0
c ( c – 2 ) ≧ 0
より、 c ≦ 0 , 2 ≦ c である。
右側：
c2 – 2c – 3 ≦ 0
を解くと、
( c + 1 )( c- 3 ) ≦ 0
より、 -1 ≦ c ≦ 3 である。
これらを合わせて、求める範囲は、
-1 ≦ c ≦ 0 , 2 ≦ c ≦ 3
である。
ネノハヒ
Gが ( 3 , -1 ) を通るので、関数
y = x2 – 2 ( c + 2 ) x + c ( c + 4 )
に x = 3 , y = -1 を代入して整理すると、
c2 – 2c – 2 = 0
となる。解の公式より、
c = 1±√3
であるが、今 2 ≦ c ≦ 3 としたので、 c = 1 + √3 である。
ところで、この関数について頂点がわかるように変形すると、
y = x2 – 2 ( c + 2 ) x + c ( c + 4 )
= { x – ( c + 2 ) }2 – 4
であるから、頂点は ( c + 2 , -4 ) であることがわかる。
よって、グラフGは、2次関数 y = x2 を、
x 軸方向に c + 2 = 3 + √3
y 軸方向に -4
だけ平行移動したものである。
フヘホ
Gとy軸の交点のy座標は、y切片すなわち c ( c + 4 ) であるから、
c ( c + 4 ) = c2 + 4c
= 4 + 2√3 + 4 + 4√3
= 8 + 6√3
である。
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