2020年 センター数学IIB 第1問[1]

問題

(1) 0 ≦ θ ≦ 2π のとき

……①   \[ \sin \theta > \sqrt{3} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)  \]

となるθの値の範囲を求めよう。

 加法定理を用いると、
  \displaystyle \sqrt{3} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right) =  ア  イ  cosθ +  ウ  イ  sinθ
である。よって、三角関数の合成を用いると、①は、
  sin ( θ + π エ  ) < 0
と変形できる。したがって、求める範囲は
   オ  カ  π < θ <  キ  ク  π
である。

(2) 0 ≦ θ ≦ π2 とし、 k を実数とする。 sinθ と cosθ は x の2次方程式 25x2 ケコ  であることがわかる。
 さらに、θが sinθ ≧ cosθ を満たすとすると、sinθ =  サ  シ  , cosθ =  ス  セ  である。このとき、θは  ソ  を満たす。  ソ  に当てはまるものを、次の ⓪ ~ ⑤ のうちから一つ選べ。

⓪ 0 ≦ θ < π12   ① π12 ≦ θ < π6  ② π6 ≦ θ < π4
③ π4 ≦ θ < π3  ④ π3 ≦ θ < 512π  ⑤ 512π ≦ θ < π2

解答

アイウ

 加法定理より、

    \begin{align*} &\sqrt{3} \cos \left( \theta -\frac{\pi}{3} \right) \\ &= \sqrt{3} \cos \theta \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) - \sqrt{3} \sin \theta \sin \left( - \frac{\pi}{3} \right) \\ &=\bm{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cos \theta + \frac{\bm{3}}{2} \sin \theta \end{align*}

である。

 求める不等式は、

    \[ \sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta  + \frac{3}{2} \sin \theta \]

すなわち、

    \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta  + \frac{3}{2} \sin \theta < 0 \]

であり、左辺は三角関数の合成で変形すると、

    \[ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{\bm{3}} \right) < 0 \]

となる。

オカキク

 この不等式を解くと、

    \[ \pi < \theta + \frac{\pi}{3} < 2\pi \]

よって、

    \[ \bm{\frac{2}{3}} \pi < \theta < \bm{\frac{5}{3}} \pi \]

である。

ケコ

 解と係数の関係より、
  sinθ + cosθ = 3525 = 75
  sinθcosθ = k25
となる。1つ目の式を両辺2乗して整理すると、
  1 + 2sinθcosθ = 4925
より、
  2k25 = 2425
 より、 k = 12 である。

サシスセ

 25x2 -35x + 12 = 0
 ( 5x – 3 ) ( 5x – 4 ) = 0
より、 x = 35 , 45 であり、sinθ ≧ cosθ であるから、
 sinθ = 45 , cosθ = 35
である。

 いま、sinθは、0 ≦ θ ≦ π2 の範囲で単調増加なので、
  sinπ4 < sinθ < sinπ3
となることより、③ π4 ≦ θ < π3 である。

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