1枚のコインを最大で5回投げるゲームを行う。このゲームでは、1回投げるごとに表が出たら持ち点に2点を加え、裏が出たら持ち点に-1点を加える。はじめの持ち点は0点とし、ゲーム終了のルールを次のように定める。
・持ち点が再び0点になった場合は、その時点で終了する。
・持ち点が再び0点にならない場合は、コインを5回投げ終わった時点で終了する。
(1) コインを2回投げ終わって持ち点が-2点である確率は ウ エ である。
また、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である確率は オ カ である。
(2) 持ち点が再び0点となることが起こるのは、コインを キ 回投げ終わったときである。コインを キ 回投げ終わって持ち点が0点になる確率は ク ケ である。
(3) ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率は コ サシ である。
(4) ゲームが終了した時点で持ち点が4点であるとき、コインを2回投げ終わって持ち点が1点である条件付き確率は ス セ である。
解答
ウエ
2回投げ終わって持ち点が -2 点となるのは、2回連続で裏が出るときなので、
12 × 12 = 14
である。
オカ
2回投げ終わって持ち点が 1 点となるのは、裏と表が1回ずつ出るときで、その順序も考えて2通りあるので、
14 × 2 = 12
である。
キクケ
持ち点が再び 0 点になるのは、3回振ったときに（表1回、裏2回）が出るときなので、コインを 3 回投げ終わったときである。
この事象が起きるのは、表裏裏、裏表裏、裏裏表の3通りであるので、求める確率は、
18 × 3 = 38
である。
コサシ
ゲーム終了時点で4点になるのは、5回振ったときに（表3回、裏2回）が出るときである。この場合の数は、
「5回の試行のうち、2回を裏とする（残った3回は必然的に表）」なので、 5C2 = 10 通り
である。ただし、そのうち3通りは先に見たとおり、3回目の試行で0点となりゲームが終わってしまう。よってゲーム終了時点で4点となる場合の数は 7 通りである。
分母はコインを5回投げる事象の数32通りなので、求める確率は、 732 である。
スセ
その7通りを書き出そう。表を○、裏を×とすると、
○○○××
○○×○×
○○××○
○×○○× …該当
○×○×○ …該当
×○○○× …該当
×○○×× …該当
の7通りであり、うち2回投げ終わった時点で1点となるのは4通り（該当としたもの）である。
よって、求める条件付き確率は、 47 である。
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