2018年 センター数学IIB 第2問[1][2]

2018年 センター数学IIB
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[1]
 p > 0 とする。座標平面上の放物線 y = px2 + qx + r を C とし、直線 y = 2x – 1 を l とする。 C は点A ( 1 , 1 ) において l と接しているとする。

(1) q と r を、 p を用いて表そう。放物線 C 上の点 A における接線 l の傾きは  ア  であることから、 q =  イウ  p +  エ  がわかる。さらに、 C は点Aを通ることから、 r = p –  オ  となる。

(2) v > 1 とする。放物線 C と直線 l および直線 x = v で囲まれた図形の面積は S は
  S = p カ  ( v3 キ  v2 +  ク  v –  ケ  )
である。また、 x 軸と l および 2直線 x = 1 , x = v で囲まれた図形の面積 T は、 T = v – v である。
 U = S – T は v = 2 で極値をとるとする。このとき、 p =  サ  であり、 v > 1 の範囲で U = 0 となる v の値を v0 とすると、v0 =  シ  + √ ス  セ  である。 1 < v < v0 の範囲で U は  ソ  ソ に当てはまるものを次の⓪~④のうちから一つ選べ。

 ⓪ つねに増加する  ① つねに減少する  ② 正の値のみをとる
 ③ 負の値のみをとる  ④ 正と負のどちらの値もとる

 p =  サ  のとき、 v > 1 における U の最小値は  タチ  である。

[2]
 関数 f ( x ) は x ≧ 1 の範囲でつねに f ( x ) ≦ 0 を満たすとする。 t > のとき、曲線 y = f ( x ) と x 軸および2直線 x = 1 , x = t で囲まれた図形の面積を W とする。 t が t > 1 の範囲を動くとき、 W は、底辺の長さが 2t2 – 2 、他の2辺の長さがそれぞれ t2 + 1 の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、 x > 1 における f ( x ) を求めよう。
 F ( x ) を f ( x ) の不定積分とする。一般に、 F ‘ ( x ) =  ツ  、 W =  テ  が成り立つ。  ツ  テ  に当てはまるものを、次の⓪~⑧のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

⓪ - F ( t )  ① F ( t )  ② F ( t ) – F ( 1 )
③ F ( t ) + F ( 1 )  ④ - F ( t ) + F ( 1 )  ⑤ - F ( t ) – F ( 1 )
⑥ - f ( x )  ⑦ f ( x )  ⑧ f ( x ) – f ( 1 )

 したがって、 t > 1 において
  f ( t ) =  トナ  t +  ヌ 
である。よって x > 1 における f ( x ) がわかる。

解答

アイウエ

 接線 l : 2x – 1 の傾きは、 2 である。
 これと、放物線 y = px2 + qx + r の x = 1 における傾きが等しいので、
  y’ = 2px + q
より、
  2p・1 + q = 2
  q = -2p + 2

 放物線が点 ( 1 , 1 ) を通ることより、
  1 = p + q + r
   = p + ( -2p + 2 ) + r
より、
  r = p – 1
である。

カキクケ

\begin{align*} S &= \int_1^v \left[ \left\{ px^2 + ( -2p+2) x + p -1 \right\} - (2x-1) \right] dx \\ &=\int_1^v ( px^2 -2px + p ) dx \\ &=\frac{p}{3}(v^3-1) - p(v^2-1) + p(v-1) \\ &=\bm{\frac{p}{3}( v^3 -3v^2 +3v -1 )} \end{align*}

となる。

 求める図形は台形。

\[ T = \{ 1 + (2v-1) \} \times ( v-1) \times \frac{1}{2} = v^{\bm{2}}-v \]

となる。

 U = S – T が v = 2 で極値を取るということは、 U'(2) = 0 となる。

\[ U' = S' - T' =pv^2 - 2pv + p - 2v + 1 \]

より、 v = 2 を代入して、
  4p – 4p + p – 4 + 1 = 0
より、 p = 3 となる。

シスセ

 p = 3 を代入すると、

\[ S = v^3 - 3v^2 + 3v - 1 , T = v^2 - v \]

より、

(※) \begin{align*} U = S - T &= v^3 -4v^2 + 4v - 1 \\   &=(v-1)(v^2-3v+1) \end{align*}

となるので、 U = 0 を満たす v は、

\[ v = 1 , \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \]

であり、 v > 1 の範囲で U = 0 となるのは、

\[ v_0 = \bm{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} \]

である。

  U’ = 3v2 -8v +4 = 0
   (3v-2)(v-2) = 0
より、関数 U は \displaystyle v = \frac{2}{3} , 2で極値を取ることがわかるので、1 \leqq x \leqq 2で U は減少し、2 \leqq xで U は増加する。
 よって、 1 < v < v0 の範囲でUは③負の値のみをとる

タチ

 U が最小値を取るのは v = 2 のときなので、
 (※)式:
  U = v3 -4v2 + 4v – 1
に v = 2 を代入して、
  U = 8 – 16 + 8 – 1 = -1
となる。

ツテ

 題意より、

\[ F (x) = \int f(x) dx + C \]

より、

\[ F' (x) = f(x) \]

である。

 また、考える範囲で f ( x ) ≦ 0 であるような関数であることに注意すると、

\[ W = \int_1^t \{ -f(x) \} dx = - F(t) + F(1) \]

となる。

トナニヌ

 題意より、
  W = 2t3 -2t
であるから、

\[ f(t) = -\frac{dW}{dt} = \bm{-6t^2 + 2} \]

となる。

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