2018年センター数学IIB 第2問[1][2]

2018年センター数学IIB
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[1]
　p > 0 とする。座標平面上の放物線 y = px² + qx + r を C とし、直線 y = 2x – 1 を l とする。 C は点A ( 1 , 1 ) において l と接しているとする。

(1)　q と r を、 p を用いて表そう。放物線 C 上の点 A における接線 l の傾きは　ア　であることから、 q = 　イウ　 p + 　エ　がわかる。さらに、 C は点Aを通ることから、 r = p – 　オ　となる。

(2) v > 1 とする。放物線 C と直線 l および直線 x = v で囲まれた図形の面積は S は
　　S = p　カ　 ( v³ – 　キ　 v² + 　ク　 v – 　ケ　 )
である。また、 x 軸と l および 2直線 x = 1 , x = v で囲まれた図形の面積 T は、 T = v^コ – v である。
　U = S – T は v = 2 で極値をとるとする。このとき、 p = 　サ　であり、 v > 1 の範囲で U = 0 となる v の値を v₀ とすると、v₀ = 　シ　 + √　ス　　セ　である。 1 < v < v₀ の範囲で U は　ソ　。　ソ　に当てはまるものを次の⓪～④のうちから一つ選べ。

　⓪　つねに増加する　　①　つねに減少する　　②　正の値のみをとる
　③　負の値のみをとる　　④　正と負のどちらの値もとる

　p = 　サ　のとき、 v > 1 における U の最小値は　タチ　である。

[2]
　関数 f ( x ) は x ≧ 1 の範囲でつねに f ( x ) ≦ 0 を満たすとする。 t > のとき、曲線 y = f ( x ) と x 軸および2直線 x = 1 , x = t で囲まれた図形の面積を W とする。 t が t > 1 の範囲を動くとき、 W は、底辺の長さが 2t² – 2 、他の2辺の長さがそれぞれ t² + 1 の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、 x > 1 における f ( x ) を求めよう。
　F ( x ) を f ( x ) の不定積分とする。一般に、 F ‘ ( x ) = 　ツ　、 W = 　テ　が成り立つ。　ツ　、　テ　に当てはまるものを、次の⓪～⑧のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

⓪　- F ( t )　　①　F ( t )　　②　F ( t ) – F ( 1 )
③　F ( t ) + F ( 1 )　　④　- F ( t ) + F ( 1 )　　⑤　- F ( t ) – F ( 1 )
⑥　- f ( x )　　⑦　f ( x )　　⑧　f ( x ) – f ( 1 )

　したがって、 t > 1 において
　　f ( t ) = 　トナ　 t^ニ + 　ヌ　
である。よって x > 1 における f ( x ) がわかる。

解答

アイウエ

　接線 l : 2x – 1 の傾きは、 2 である。
　これと、放物線 y = px² + qx + r の x = 1 における傾きが等しいので、
　　y’ = 2px + q
より、
　　2p・1 + q = 2
　　q = -2p + 2

オ

　放物線が点 ( 1 , 1 ) を通ることより、
　　1 = p + q + r
　　　= p + ( -2p + 2 ) + r
より、
　　r = p – 1
である。

カキクケ

$\begin{align*} S &= \int_1^v \left[ \left\{ px^2 + ( -2p+2) x + p -1 \right\} - (2x-1) \right] dx \\ &=\int_1^v ( px^2 -2px + p ) dx \\ &=\frac{p}{3}(v^3-1) - p(v^2-1) + p(v-1) \\ &=\bm{\frac{p}{3}( v^3 -3v^2 +3v -1 )} \end{align*}$

となる。

コ

　求める図形は台形。

$T = \{ 1 + (2v-1) \} \times ( v-1) \times \frac{1}{2} = v^{\bm{2}}-v$

となる。

サ

　U = S – T が v = 2 で極値を取るということは、 U'(2) = 0 となる。

$U' = S' - T' =pv^2 - 2pv + p - 2v + 1$

より、 v = 2 を代入して、
　　4p – 4p + p – 4 + 1 = 0
より、 p = 3 となる。

シスセ

　p = 3 を代入すると、

$S = v^3 - 3v^2 + 3v - 1 , T = v^2 - v$

より、

(※) $\begin{align*} U = S - T &= v^3 -4v^2 + 4v - 1 \\ &=(v-1)(v^2-3v+1) \end{align*}$

となるので、 U = 0 を満たす v は、

$v = 1 , \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

であり、 v > 1 の範囲で U = 0 となるのは、

$v_0 = \bm{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$

である。

ソ

　　U’ = 3v² -8v +4 = 0
　　　(3v-2)(v-2) = 0
より、関数 U は $\displaystyle v = \frac{2}{3} , 2$ で極値を取ることがわかるので、 $1 \leqq x \leqq 2$ で U は減少し、 $2 \leqq x$ で U は増加する。
　よって、 1 < v < v₀ の範囲でUは③負の値のみをとる。